14010. Точки D
и K
— середины рёбер соответственно BC
и AA_{1}
правильной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Точка X
принадлежит прямой BK
. Найдите наименьшее значение площади треугольника AXD
, если AB=6
, AA_{1}=8
.
Ответ. \frac{18\sqrt{3}}{5}
.
Решение. Пусть XY
— высота треугольника ABC
. Тогда его площадь S=\frac{1}{2}AD\cdot XY
минимальна, если минимален отрезок XY
с концами на скрещивающихся прямых AD
и BK
, т. е. когда XY
— общий перпендикуляр этих прямых (см. 7423). Таким образом, задача сводится к вычислению длины общего перпендикуляра скрещивающихся прямых AD
и BK
, т. е. расстояния между этими прямыми.
Пусть D_{1}
— середина ребра B_{1}C_{1}
, а M
— середина отрезка DD_{1}
. Поскольку KM\parallel AD
, прямая AD
параллельна плоскости BKM
, содержащей прямую KM
(см. задачу 8002). Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми AD
и BK
равно расстоянию от любой точки прямой AD
, например, от точки D
, до плоскости BMK
(см. задачу 7889).
Пусть DH
— перпендикуляр к BM
. Поскольку призма правильная, DH\perp KM
, поэтому DH
— перпендикуляр к плоскости BMK
, и искомое расстояние между прямыми AD
и BK
равно длине отрезка MH
. Из прямоугольного треугольника BDM
находим (см. задачу 1967), что
DH=\frac{BD\cdot DM}{BM}=\frac{BD\cdot DM}{\sqrt{BD^{2}+DM^{2}}}=\frac{3\cdot4}{\sqrt{9+16}}=\frac{12}{5}.
Следовательно,
S_{\min}=\frac{1}{2}AD\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{12}{5}=\frac{18\sqrt{3}}{5}.