14133. На ребре AD
куба ABCDA'B'C'D'
(AA'
, BB'
, CC'
, DD'
— параллельные боковые рёбра) расположена точка M
, причём AM:AD=1:3
. Через точку M
и вершины A'
и C'
куба проведена плоскость \Pi
. Найдите расстояние до плоскости \Pi
от точки N
, расположенной на ребре AB
так, что AN:AB=1:2
, если ребро куба равно 2\sqrt{19}
.
Ответ. 5.
Решение. Первый способ. Пусть O
и O'
— центры граней ABCD
и A'B'C'D'
соответственно, K
— середина ребра BC
. Отрезок NK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому KN\parallel AC
. Значит, точка P
пересечения KN
и OB
— середина отрезка OB
, а прямая KN
параллельна плоскости \Pi
. Точки N
и P
равноудалены от плоскости \Pi
, поэтому задачи сводится к вычислению расстояния от точки P
до секущей плоскости.
Плоскость \Pi
пересекает грань ABCD
по прямой, параллельной A_{1}C_{1}
, а значит, по прямой, параллельной AC
. Пусть Q
— точка пересечения этой прямой с диагональю BD
квадрата ABCD
. По теореме Фалеса \frac{OQ}{QD}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}
, поэтому OQ=\frac{1}{3}OD=\frac{1}{6}BD
, а так как OP=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{4}BD
, то \frac{OP}{OQ}=\frac{3}{2}
. Тогда отношение расстояния от точки P
до плоскости \Pi
к расстоянию от точки O
до этой плоскости равно \frac{5}{3}
. Следовательно (см. задачу 9180), искомое расстояние d
равно \frac{5}{2}
расстояния от точки O
до плоскости \Pi
.
Пусть OH
— высота прямоугольного треугольника QOO'
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости \Pi
,
OO'=BB'=2\sqrt{19},~OQ=\frac{1}{6}BD=\frac{1}{6}AD\sqrt{2}=\frac{1}{6}\cdot2\sqrt{19}\cdot\sqrt{2}=\frac{1}{3}\sqrt{38},
QO'=\sqrt{OQ^{2}+OO'^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}\cdot38+4\cdot19}=\frac{1}{3}\sqrt{38+18\cdot38}=\frac{19}{3}\sqrt{2}.
OH=\frac{OQ\cdot OO'}{QO'}=\frac{\frac{1}{3}\sqrt{38}\cdot2\sqrt{19}}{\frac{19}{3}\sqrt{2}}=2
(см. задачу 1967). Следовательно,
d=\frac{5}{2}\cdot2=5.
Второй способ. Пусть E
— точка пересечения прямых DD'
и A'M
. Из подобия треугольников MDE
и MAA'
находим, что DE=2AA'=4\sqrt{19}
. Значит, D'E=6\sqrt{19}
.
Выберем прямоугольную систему координат xyzD'
, направив ось D'x
по лучу D'C'
, ось D'y
— по лучу D'A'
, ось D'z
— по лучу D'D
. Тогда уравнение плоскости \Pi
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564) имеет вид
\frac{x}{2\sqrt{19}}+\frac{y}{2\sqrt{19}}+\frac{z}{6\sqrt{19}}=1,~\mbox{или}~3x+3y+z-6\sqrt{19}=0.
Тогда искомое расстояние d
от точки N(\sqrt{19};2\sqrt{19};2\sqrt{19})
найдём по известной формуле (см. задачу 7563)
d=\frac{\left|3\cdot\sqrt{19}+3\cdot2\sqrt{19}+2\sqrt{19}-6\sqrt{19}\right|}{\sqrt{3^{2}+3^{2}+1^{2}}}=\frac{5\sqrt{19}}{\sqrt{19}}=5.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021, март, заключительный тур, 11 класс, комплект 1, вариант 1, задача 6