14134. На ребре AD
куба ABCDA'B'C'D'
(AA'
, BB'
, CC'
, DD'
— параллельные боковые рёбра) расположена точка M
, причём AM:AD=1:2
. Через точку M
и вершины A'
и C'
куба проведена плоскость \Pi
. Найдите расстояние до плоскости \Pi
от точки N
, расположенной на ребре AB
так, что AN:AB=1:4
, если ребро куба равно 2.
Ответ. 1.
Решение. Первый способ. Пусть O
и O'
— центры граней ABCD
и A'B'C'D'
соответственно, K
— точка ребра BC
, для которой \frac{CK}{CB}=\frac{AN}{NB}=\frac{1}{4}
. Тогда KN\parallel AC
, поэтому точка P
пересечения KN
и OB
такова, что \frac{OP}{OB}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4}
, а прямая KN
параллельна плоскости \Pi
. Точки N
и P
равноудалены от плоскости \Pi
, поэтому задачи сводится к вычислению расстояния от точки P
до этой плоскости.
Плоскость \Pi
пересекает грань ABCD
по прямой, параллельной A_{1}C_{1}
, а значит, по прямой, параллельной AC
. Пусть Q
— точка пересечения этой прямой с диагональю BD
квадрата ABCD
. По теореме Фалеса \frac{OQ}{QD}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}
, поэтому OQ=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{4}BD
, а так как OP=\frac{1}{4}BO=\frac{1}{8}BD
, то \frac{OP}{OQ}=\frac{1}{2}
. Тогда отношение расстояния от точки P
до плоскости \Pi
к расстоянию от точки O
до этой плоскости равно \frac{3}{2}
. Следовательно (см. задачу 9180), искомое расстояние d
равно \frac{3}{2}
расстояния от точки O
до плоскости \Pi
.
Пусть OH
— высота прямоугольного треугольника QOO'
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости \Pi
,
OO'=BB'=2,~OQ=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}AD\sqrt{2}=\frac{1}{4}\cdot2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2},
QO'=\sqrt{OQ^{2}+OO'^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+4}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
OH=\frac{OQ\cdot OO'}{QO'}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot2}{\frac{3}{\sqrt{2}}}=\frac{2}{3}.
(см. задачу 1967). Следовательно,
d=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=1.
Второй способ. Пусть E
— точка пересечения прямых DD'
и A'M
. Из равенства треугольников MDE
и MAA'
находим, что DE=AA'=2
. Значит, D'E=4
.
Выберем прямоугольную систему координат xyzD'
, направив ось D'x
по лучу D'C'
, ось D'y
— по лучу D'A'
, ось D'z
— по лучу D'D
. Тогда уравнение плоскости \Pi
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564) имеет вид
\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1,~\mbox{или}~2x+2y+z-4=0.
Тогда искомое расстояние d
от точки N\left(\frac{1}{2};2;2\right)
найдём по известной формуле (см. задачу 7563)
d=\frac{\left|2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot2+1\cdot2-4\right|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{9}}=1.