14135. На ребре AD
куба ABCDA'B'C'D'
(AA'
, BB'
, CC'
, DD'
— параллельные боковые рёбра) расположена точка M
, причём AM:AD=3:4
. Через точку M
и вершины A'
и C'
куба проведена плоскость \Pi
. Найдите расстояние до плоскости \Pi
от точки N
, расположенной на ребре AB
так, что AN:AB=1:3
, если ребро куба равно 3\sqrt{41}
.
Ответ. 13.
Решение. Первый способ. Пусть O
и O'
— центры граней ABCD
и A'B'C'D'
соответственно, K
— точка ребра BC
, для которой \frac{CK}{CB}=\frac{AN}{NB}=\frac{1}{4}
. Тогда KN\parallel AC
, поэтому точка P
пересечения KN
и OB
такова, что \frac{OP}{OB}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3}
, а прямая KN
параллельна плоскости \Pi
. Точки N
и P
равноудалены от плоскости \Pi
, поэтому задачи сводится к вычислению расстояния от точки P
до этой плоскости.
Плоскость \Pi
пересекает грань ABCD
по прямой, параллельной A_{1}C_{1}
, а значит, по прямой, параллельной AC
. Пусть Q
— точка пересечения этой прямой с диагональю BD
квадрата ABCD
. По теореме Фалеса \frac{OQ}{OD}=\frac{AM}{AD}=\frac{3}{8}
, поэтому OQ=\frac{3}{4}OD=\frac{3}{8}BD
, а так как OP=\frac{1}{3}BO=\frac{1}{6}BD
, то \frac{OP}{OQ}=\frac{4}{9}
. Тогда отношение расстояния от точки P
до плоскости \Pi
к расстоянию от точки O
до этой плоскости равно \frac{13}{4}
. Следовательно (см. задачу 9180), искомое расстояние d
равно \frac{13}{9}
расстояния от точки O
до плоскости \Pi
.
Пусть OH
— высота прямоугольного треугольника QOO'
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости \Pi
,
OO'=BB'=3\sqrt{41},~OQ=\frac{3}{8}BD=\frac{3}{8}AD\sqrt{2}=\frac{3}{8}\cdot3\sqrt{82}=\frac{9\sqrt{82}}{8},
QO'=\sqrt{OQ^{2}+OO'^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}\cdot82+9\cdot41}=\frac{3}{8}\sqrt{9\cdot82+64\cdot41}=\frac{3\cdot41}{8}\cdot\sqrt{2}.
OH=\frac{OQ\cdot OO'}{QO'}=\frac{\frac{9\sqrt{82}}{8}\cdot3\sqrt{41}}{\frac{3\cdot41}{8}\cdot\sqrt{2}}=9.
(см. задачу 1967). Следовательно,
d=\frac{13}{9}\cdot9=13.
Второй способ. Пусть E
— точка пересечения прямых DD'
и A'M
. Из подобия треугольников MDE
и MAA'
находим, что DE=\frac{1}{3}AA'=\sqrt{41}
. Значит, D'E=4\sqrt{41}
.
Выберем прямоугольную систему координат xyzD'
, направив ось D'x
по лучу D'C'
, ось D'y
— по лучу D'A'
, ось D'z
— по лучу D'D
. Тогда уравнение плоскости \Pi
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564) имеет вид
\frac{x}{3\sqrt{41}}+\frac{y}{3\sqrt{41}}+\frac{z}{4\sqrt{41}}=1,~\mbox{или}~4x+4y+3z-12\sqrt{41}=0.
Тогда искомое расстояние d
от точки N\left(\sqrt{41};3\sqrt{41};3\sqrt{41}\right)
найдём по известной формуле (см. задачу 7563)
d=\frac{\left|4\cdot\sqrt{41}+4\cdot3\sqrt{41}+3\cdot3\sqrt{41}-12\sqrt{41}\right|}{\sqrt{16^{2}+16^{2}+9^{2}}}=\frac{16\sqrt{41}}{\sqrt{41}}=13.