14251. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равны a
, точки M
и N
— середины боковых рёбер SB
и SD
. Найдите: а) угол между прямыми AM
и CN
; б) расстояние между прямыми AM
и CN
.
Ответ. а) \varphi=\arccos\frac{2}{3}
; б) d=a\sqrt{\frac{2}{5}}
.
Решение. а) На продолжении ребра CD
за точку D
отложим отрезок DE
, равный стороне AB=a
квадрата ABCD
. Пусть H
и P
— центры квадратов ABCD
и ADEF
соответственно. Тогда
AP=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}BD=MN,~AP\parallel BD\parallel MN,
значит, AMNP
— параллелограмм, поэтому PN=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}
и PN\parallel AM
, а угол \varphi
между скрещивающимися прямыми AM
и CN
равен углу между пересекающимися прямыми CN
и PN
, т. е. углу CNP
или смежному с ним углу.
Из прямоугольного треугольника CAP
находим, что
CP=\sqrt{AP^{2}+AC^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+2a^{2}}=a\sqrt{\frac{5}{2}}.
По теореме косинусов
\cos\angle CNP=\frac{NC^{2}+NP^{2}-CP^{2}}{2NC\cdot NP}=\frac{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}-\frac{5}{2}a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=-\frac{2}{3}.
Следовательно, \varphi=\arccos\frac{2}{3}=\arcsin\frac{\sqrt{5}}{3}
.
б)
Первый способ. Прямая AM
параллельна плоскости CNP
, так как эта прямая параллельна прямой PN
, лежащей в этой плоскости. Значит, расстояние d
между скрещивающимися прямыми AM
и CN
равно расстоянию от произвольной точки прямой AM
(например, от точки A
) до плоскости CNP
(см. задачу 7889).
Пусть Q
— середина отрезка DH
. Тогда NH
— средняя линия прямоугольного треугольника DHC
, поэтому NQ\parallel SH
. Значит, NQ
— перпендикуляр к плоскости основания данной пирамиды. Поскольку DP=CH
и DP\parallel CH
, четырёхугольник CDPH
— параллелограмм, поэтому его диагональ CP
проходит через середину Q
диагонали DH
. Таким образом, плоскость CNP
проходит через прямую NQ
, перпендикулярную плоскости ABC
. Значит, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710). Следовательно, перпендикуляр AL
, опущенный из точки A
плоскости ABC
на прямую CP
пересечения этих плоскостей, есть перпендикуляр к плоскости CNP
(см. задачу 7712), а значит, расстояние от точки A
до плоскости CNP
равно длине отрезка AL
.
Записав двумя способами площадь прямоугольного треугольника CAP
, получим равенство
\frac{1}{2}CP\cdot AL=\frac{1}{2}AP\cdot AC,~\mbox{или}~\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot AL=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2},
откуда находим, что
d=AL=a\sqrt{\frac{2}{5}}.
Первый способ. Пусть V
— объём тетраэдра ABMN
, h=\frac{1}{2}SH
— расстояние между перпендикулярными прямыми BD
и MN
, d
— искомое расстояние между прямыми AM
и CN
, \varphi
— угол между этими прямыми. Тогда (см. задачу 7234)
V=\frac{1}{6}BD\cdot MN\cdot h=\frac{1}{6}\cdot a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{24}.
С другой стороны (см. задачу 7234),
V=\frac{1}{6}AM\cdot CN\cdot d\sin\varphi=\frac{1}{6}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot d\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{a^{2}d\sqrt{5}}{24}.
Из равенства \frac{a^{3}\sqrt{2}}{24}=\frac{a^{2}d\sqrt{5}}{24}
находим, что d=a\sqrt{\frac{2}{5}}
.