14271. Дан единичный куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Точки M
и N
— середины рёбер AA_{1}
и BB_{1}
соответственно. Найдите:
а) косинус угла между прямыми BM
и C_{1}N
;
б) синус угла между прямой A_{1}D_{1}
и плоскостью BDC_{1}
;
в) косинус угла между плоскостями AA_{1}D
и BA_{1}C_{1}
;
г) расстояние между прямыми BM
и C_{1}N
.
Ответ. а) \frac{1}{5}
; б) \frac{1}{\sqrt{3}}
; в) \frac{1}{\sqrt{3}}
; г) \frac{1}{\sqrt{6}}
.
Решение. а) Поскольку A_{1}N\parallel BM
, угол между скрещивающимися прямыми BM
и C_{1}N
равен углу между пересекающимися прямыми A_{1}N
и C_{1}N
, т. е. углу A_{1}NC_{1}
. В треугольнике A_{1}NC_{1}
известно, что
A_{1}N=C_{1}N=AB_{1}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},~A_{1}C_{1}=\sqrt{2}.
По теореме косинусов
\cos\angle A_{1}NC_{1}=\frac{\frac{5}{4}+\frac{5}{4}-2}{2\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{5}.
б) Прямая A_{1}D_{1}
параллельна прямой BC
, поэтому угол между прямой A_{1}D_{1}
и плоскостью BDC_{1}
равен углу между этой плоскостью с её наклонной BC
. Известно, что диагональ CA_{1}
куба перпендикулярна плоскости BDC_{1}
, проходит через центр H
равностороннего треугольника BDC_{1}
и делится точкой H
в отношении 2:1
, считая от точки C
(см. задачу 7300). Значит, расстояние от точки C
до плоскости BDC_{1}
равно трети диагонали CA_{1}
, т. е. CH=\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Пусть искомый угол равен \alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{CH}{CB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
в) Угол между плоскостями равен углу между прямыми, соответственно перпендикулярными этим плоскостям (см. задачу 8970). Поскольку прямая A_{1}B_{1}
перпендикулярна плоскости AA_{1}D
, а прямая B_{1}D
перпендикулярна плоскости BA_{1}C_{1}
, искомый угол \beta
между этими плоскостями равен углу между прямыми A_{1}B_{1}
и B_{1}D
, т. е. острому углу A_{1}B_{1}D
прямоугольного треугольника A_{1}B_{1}D
, с прямым углом при вершине A_{1}
. Следовательно,
\cos\beta=\cos\angle A_{1}B_{1}D=\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}D}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
г) Прямая BM
параллельна прямой A_{1}N
, расположенной в плоскости A_{1}NC_{1}
, поэтому прямая BM
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, искомое расстояние d
между прямыми BM
и C_{1}N
равно расстоянию от любой точки прямой BM
, в частности, от точки B
, до этой плоскости (см. задачу 7889). В то же время, поскольку N
— середина ребра BB_{1}
, расстояние от точки B
до плоскости A_{1}NC_{1}
равно расстоянию до этой плоскости от точки B_{1}
.
Пусть O_{1}
— центр квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, B_{1}H
— высота прямоугольного треугольника NB_{1}O_{1}
. Тогда B_{1}H
— перпендикуляр к плоскости A_{1}NC_{1}
. При этом NO_{1}
— средняя линия треугольника BB_{1}D_{1}
, поэтому
NO_{1}=\frac{1}{2}BD_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
d=B_{1}H=\frac{B_{1}N\cdot B_{1}O_{1}}{NO_{1}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.