14340. Грани тетраэдра — равные треугольники со сторонами 3, 3 и 4. Найдите объём, радиус вписанной сферы и двугранные углы тетраэдра.
Ответ. V=\frac{8}{3}
; r=\frac{1}{\sqrt{5}}
; \alpha=\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)
, \beta=\gamma=\arccos\frac{4}{5}
.
Решение. Пусть грань ABC
тетраэдра ABCD
— треугольник со сторонами AB=AC=3
и BC=4
. Тогда DB=DC=3
, AD=4
. Тетраэдр ABCD
равногранный, поэтому его описанный параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7267). Если его измерения равны x
, y
и z
, то по теореме Пифагора
\syst{x^{2}+y^{2}=3^{2}\\x^{2}+z^{2}=4^{2}\\y^{2}+z^{2}=3^{2},}
откуда x=2\sqrt{2}
, y=1
, z=2\sqrt{2}
. Значит, объём параллелепипеда равен
V_{1}=xyz=2\sqrt{2}\cdot1\cdot2\sqrt{2}=8.
Следовательно (см. примечание к задаче 7041),
V=V_{ABCD}=\frac{1}{3}V_{1}=\frac{8}{3}.
Пусть радиус вписанной сферы данного тетраэдра равен r
, а площадь его каждой грани равна S
. Опустим высоту AA_{1}
равнобедренного треугольника ABC
. Тогда
AA_{1}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5},~S=\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}.
Значит, (см. задачу 7185),
r=\frac{3V}{4S}=\frac{8}{8\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Пусть двугранный угол тетраэдра при ребре BC
равен \alpha
, а двугранный угол при ребре AB
равен \beta
. Тогда двугранный угол при ребре AD
равен \alpha
, а двугранные углы при рёбрах AC
, DB
и DC
равны \beta
.
Поскольку AA_{1}\perp BC
и DA_{1}\perp BC
, то AA_{1}D
— линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре BC
, \angle AA_{1}D=\alpha
. По теореме косинусов из треугольника AA_{1}D
находим, что
\cos\alpha=\frac{AA_{1}^{2}+DA_{1}^{2}-DA^{2}}{2AA_{1}\cdot DA_{1}}=\frac{5+5-16}{2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=-\frac{3}{5}.
Следовательно, \alpha=\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)
. (То что этот угол тупой, означает, что основание высоты тетраэдра, проведённой из вершины D
, лежит на продолжении высоты AA_{1}
за точку A_{1}
.)
Пусть DH
— высота пирамиды, а DD_{1}
— высота грани ADB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах HD_{1}\perp AB
, поэтому DD_{1}H
— линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB
, \angle DD_{1}H=\beta
, а также
DH=\frac{3V}{S}=\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}.
Из треугольника ADB
находим, что
DD_{1}=\frac{2S}{AB}=\frac{4\sqrt{5}}{3}.
Значит,
\sin\beta=\sin\angle DD_{1}H=\frac{DH}{DD_{1}}=\frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{4\sqrt{5}}{3}}=\frac{3}{5},
а так как \beta\lt90^{\circ}
, то \cos\beta=\frac{4}{5}
. Следовательно,
\gamma=\beta=\arccos\frac{4}{5}.
Примечание. После того, как найден \cos\alpha
, косинусы остальных двугранных углов можно найти, используя формулу
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1
(см. задачу 14217). В нашем случае
\cos\alpha+2\cos\beta=1,
откуда
\cos\beta=\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{5}\right)=\frac{4}{5}.