14510. В параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагональ AC_{1}
равна d
. Докажите, что существует треугольник, длины сторон которого равны расстояниям от вершин A_{1}
, B
и D
до этой диагонали, причём объём параллелепипеда равен 2dS
, где S
— площадь этого треугольника.
Решение. Диагональ AC_{1}
проходит через точку пересечения медиан треугольника A_{1}BD
и делится плоскостью этого треугольника в отношении 1:2
, считая от точки A
(см. задачу 7212). Рассмотрим ортогональную проекцию параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали AC_{1}
. Проекция точки пересечения медиан совпадает с точкой M
пересечения медиан треугольника A_{1}'B'D'
, где A_{1}'
, B'
и D'
— проекции точек A_{1}
, B
и D
соответственно, а длины отрезков MA_{1}'
, MB'
и MD'
(равных двум третям соответствующих медиан треугольника A_{1}'B'D'
) равны расстояниям от точек A_{1}
, B
и D
до прямой AC_{1}
. Поскольку из отрезков, равных медианам любого треугольника, можно составить треугольник (см. задачу 4518), то и из отрезков MA_{1}'
, MB'
и MD'
тоже можно составить треугольник, причём площадь этого треугольника равна 3S_{\triangle A_{1}'B'D'}
(см. решение задачи 3033).
Пусть объём параллелепипеда равен V
, а объём тетраэдра AA_{1}BD
равен v
. Тогда V=6v
, а так как (см. примечание к задаче 9415)
v=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}AC_{1}\cdot3S_{\triangle A_{1}'B'D'}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}d\cdot3S=\frac{1}{3}dS,
то V=6v=2dS
. Что и требовалось доказать.