14556. Основание прямой призмы — квадрат со стороной 1. Высота призмы равна \sqrt{7}
. Найдите расстояние между диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.
Ответ. \frac{\sqrt{7}}{6}
.
Решение. Пусть квадраты ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
со стороной 1 — основания прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=DD_{1}=\sqrt{7}
. Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми BD_{1}
и CB_{1}
.
На продолжении ребра C_{1}B_{1}
за точку B_{1}
отложим отрезок B_{1}M=C_{1}B_{1}=1
. Тогда BCB_{1}M
— параллелограмм, поэтому CB_{1}\parallel BM
. Значит, прямая CB_{1}
параллельна плоскости BMD_{1}
. Тогда расстояние d
между скрещивающимися прямыми BD_{1}
и CB_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой CB_{1}
, например, от точки B_{1}
, до этой плоскости (см. задачу 7889).
Первый способ. В треугольнике BMD_{1}
известны стороны
BM=CB_{1}=\sqrt{1+7}=2\sqrt{2},~BD_{1}=\sqrt{1+1+7}=3,~MD_{1}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Обозначим \angle MBD_{1}=\alpha
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{8+9-5}{2\cdot2\sqrt{2}\cdot3}=\frac{1}{\sqrt{2}},
поэтому \alpha=45^{\circ}
.
Пусть BP
— высота треугольника BMD_{1}
. Тогда
BP=\frac{2S_{\triangle BMD_{1}}}{MD_{1}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}.
По теореме о трёх перпендикулярах B_{1}P\perp MD_{1}
. Пусть C_{1}Q
— высота прямоугольного треугольника MC_{1}D_{1}
. Отрезок B_{1}P
— средняя линия треугольника MC_{1}Q
, поэтому (см. задачу 1967)
B_{1}P=\frac{1}{2}C_{1}Q=\frac{1}{2}\cdot\frac{C_{1}D_{1}\cdot C_{1}M}{\sqrt{C_{1}D_{1}^{2}+C_{1}M^{2}}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1\cdot2}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Пусть B_{1}H
— высота прямоугольного треугольника BB_{1}P
. Поскольку B_{1}H\perp BP
и B_{1}H\perp MD_{1}
, то B_{1}H
— перпендикуляр к плоскости BMD_{1}
. Следовательно,
d=B_{1}H=\frac{BB_{1}\cdot B_{1}P}{BP}=\frac{\sqrt{7}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{6}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{7}}{6}.
Второй способ. Выберем систему координат с началом в точке C
, направив ось Cx
по лучу CB
, ось Cy
— по лучу CD
, ось Cz
— по лучу CC_{1}
. Пусть прямая MB
пересекает прямую CC_{1}
в точке N
(CN=CC_{1}=\sqrt{7}
), а плоскость BMD_{1}
пересекает прямую CD
в точке K
. Обозначим CK=b
. Тогда CN=CC_{1}=\sqrt{7}
. Тогда уравнение плоскости BMD_{1}
имеет вид
x+\frac{y}{b}-\frac{z}{\sqrt{7}}-1=0
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564). Точка D_{1}(0;1;\sqrt{7})
лежит в этой плоскости, поэтому, подставив её координаты в уравнение плоскости, получим, что b=\frac{1}{2}
. Следовательно, уравнение плоскости примет вид
x+2y-\frac{z}{\sqrt{7}}-1=0.
Тогда расстояние от точки B_{1}(1;0;\sqrt{7})
до этой плоскости равно (см. задачу 7563)
d=\frac{|1-1-1|}{\sqrt{1+4+\frac{1}{7}}}=\frac{\sqrt{7}}{6}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2014, № 7, вариант 2