14703. В тетраэдре ABCD
скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка AH_{A}
, где H_{A}
— точка пересечения высот грани BCD
, провели прямую h_{A}
перпендикулярно плоскости BCD
. Аналогичным образом определили точки H_{B}
, H_{C}
, H_{D}
и построили прямые h_{B}
, h_{C}
, h_{D}
соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые h_{A}
, h_{B}
, h_{C}
, h_{D}
пересекаются в одной точке.
Решение. Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда AD'BC'B'CA'D
с диагоналями AA'
, BB'
, CC'
и DD'
(см. рисунок), проведя через каждую пару скрещивающихся рёбер две параллельные плоскости (см. задачу 7041). Поскольку тетраэдр равногранный, построенный параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7994б). Пусть O
— его центр, являющийся также центром описанной сферы тетраэдра ABCD
. Докажем, что все построенные прямые h_{A}
, h_{B}
, h_{C}
, h_{D}
проходят через точку O
.
Диагональ AA'
построенного параллелепипеда проходит через точку M
пересечения медиан треугольника BCD
, причём AM:MA'=2:1
(см. задачу 7212), а так как O
— середина диагонали, то AO:OM=3:1
.
Рассмотрим ортогональную проекцию на плоскость BCD
. Пусть A''
— проекция точки A
, O_{A}
— проекция центра O
. Точка O
совпадает с центром описанной сферы тетраэдра ABCD
, поэтому O_{A}
— центр описанной окружности треугольника BCD
. Тогда прямая AA'
, содержащая точки O
и M
, проецируется в прямую Эйлера O_{A}M
треугольника BCD
.
Пусть O_{A}M=x
. Тогда O_{A}A''=3x
(точка O
делит отрезок AM
в отношении 3:1
, а это отношение сохраняется при проецировании). Кроме того, O_{A}
, M
и H_{A}
лежат на одной прямой, причём O_{A}M:MH_{A}=1:2
(см. задачу 5044), поэтому MH_{A}=2x
. Следовательно, O_{A}A''=O_{A}H_{A}
, а прямая OO_{A}
, перпендикулярная плоскости BCD
, делит отрезок AH_{A}
пополам, а значит, совпадает с прямой h_{A}
. Аналогично докажем, что прямые h_{B}
, h_{C}
, h_{D}
проходят через точку O
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2024, LXXXVII, 11 класс, первый день, задача 5