15006. В пирамиде ABCD
рёбра AB
и BC
перпендикулярны, AB=4\sqrt{6}
, BC=6
, AD=BD=CD=7
. Через прямые AB
и CD
проведены параллельные плоскости. Найдите расстояние между этими плоскостями.
Ответ. \frac{24}{5}
.
Решение. Поскольку рёбра DA
, DB
и DC
равны, высота пирамиды, проведённая из вершины D
, проходит через центр O
описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 7163), а так как этот треугольник прямоугольный, O
— середина его гипотенузы AC
и OB=\frac{1}{2}AC
(см. задачу 1109). Из прямоугольных треугольников ABC
и BOD
находим
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=96+36=6(16+6)=6\cdot22,~BO^{2}=\frac{1}{4}AC^{2}=33,
DO=\sqrt{DB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{49-33^{2}}=4.
Введём прямоугольную систему координат Bxyz
с началом в точке B
, направив ось Bx
по лучу BA
, ось By
— по лучу BC
, ось Bz
— по лучу с началом в точке B
, сонаправленному с лучом OD
. Пусть E
— вершина прямоугольника ABCE
. Найдём координаты точек
B(0;0;0),~C(0;6;0),~D(2\sqrt{6};3;4),~E(4\sqrt{6};6;0;).
Поскольку прямая EC
параллельна прямой AB
, то плоскость DCE
— одна из двух, заданных в условии, а другая плоскость проходит через прямую AB
параллельно плоскости CDE
. Найдём уравнение плоскости CDE
.
Пусть прямая ED
(а значит, и плоскость CDE
) пересекает ось Bz
в точке P
. Тогда BP=2DO=8
. Уравнение плоскости CDE
, параллельной оси Bx
, имеет вид (уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564)
\frac{y}{6}+\frac{z}{8}=1,~\mbox{или}~4y+3z-24=0.
Искомое расстояние равно расстоянию d
между указанными выше параллельными плоскостями, т. е. расстоянию от точки B
до плоскости CDE
. Следовательно (см. задачу 7563),
d=\frac{|0\cdot4+0\cdot3-24|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}|=\frac{24}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1999, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999 с. 183, задача 5, вариант 1.1