16052. Пусть A'
, B'
и C'
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, точка I'
— центр вписанной окружности окружности треугольника A'B'C'
(точка Шпикера треугольника ABC
, см. задачу 6792). Докажите, что I'
— радикальный центр вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
и AB=C
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
, CA
и AB
соответственно, P
и Q
— точки касания прямой BC
с вневписанным окружностями, противолежащими вершинам C
и B
соответственно. Тогда
BP=CP-BC=p-a,~CQ=BQ-BC=p-a
(см. задачу 1750). Значит,
A'P=A'B+BP=\frac{a}{2}+p-a=p-\frac{a}{2},~A'Q=A'C+CQ=\frac{a}{2}+p-a=p-\frac{a}{2}.
Тогда A'
— середина отрезка PQ
общей внешней касательной к вневписанным окружностям треугольника ABC
, противолежащим вершинам C
и B
соответственно. Значит, точка A'
лежит на радикальной оси этих окружностей.
В то же время, треугольник A'B'C'
гомотетичен треугольнику ABC
с центром гомотетии в общей точке пересечения медиан треугольников A'B'C'
и ABC
и коэффициентом -\frac{1}{2}
, поэтому биссектрисы соответствующих углов этих треугольников параллельны, т. е. биссектрисы A'I'
, B'I'
и C'I'
углов A'
, B'
и C'
треугольника A'B'C'
соответственно параллельны биссектрисам AI_{a}
, BI_{b}
и CI_{c}
углов A
, B
и C
треугольника ABC
, которые, в свою очередь, соответственно перпендикулярны сторонам I_{b}I_{c}
, I_{a}I_{c}
и I_{a}I_{b}
треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769). Значит, прямые A'I'
, B'I'
и C'I'
, проходящие через точки, лежащие на радикальных осях вневписанных окружностей с центрами I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
, соответственно перпендикулярны линиям центров I_{b}I_{c}
, I_{a}I_{c}
и I_{a}I_{b}
этих окружностей. Таким образом, прямые A'I'
, B'I'
и C'I'
— радикальные оси пар этих окружностей, и следовательно, точка I'
пересечения этих прямых — радикальный центр трёх вневписанных окружностей треугольника ABC
(см. задачу 6293). Что и требовалось доказать.