16063. Около четырёхугольника ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
, DA=d
и площадью S
можно описать окружность и в него можно вписать окружность радиуса R
. Докажите, что
abc+abd+acd+bcd\leqslant2\sqrt{S}(S+2R^{2}).
Решение. Пусть p
— полупериметр данного четырёхугольника. Тогда (см. задачи 310, 2859 и 16062)
p=a+c=b+d,~S=\sqrt{abcd},~R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{abcd}}.
Значит,
abc+abd+acd+bcd=abc+bcd+cda+dab=(abc+cda)+(bcd+dab)=
=ac(b+d)+bd(a+c)=\frac{pac(b+d)+pbd(a+c)}{p}=\frac{ac(b+d)^{2}+bd(a+c)^{2}}{p}=
=\frac{acb^{2}+acd^{2}+bda^{2}+bdc^{2}+4abcd}{p}=\frac{(acb^{2}+bda^{2})+(acd^{2}+bdc^{2})+4abcd}{p}=
=\frac{ab(bc+ad)+cd(ad+bc)+4abcd}{p}=\frac{(ab+cd)(ad+bc)+4abcd}{p}=
=\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{p}+\frac{4abcd}{p}=\frac{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{p(ac+bd)}+\frac{4abcd}{p},
а так как
p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)=2\cdot\frac{1}{4}(a+b+c+d)\geqslant2\sqrt[{4}]{{abcd}},
ac+bd\geqslant2\sqrt{abcd}
(см. 3399), то
abc+bcd+cda+dab\leqslant\frac{16R^{2}S^{2}}{2\sqrt[{4}]{{abcd}}\cdot2S}+\frac{4S^{2}}{2\sqrt[{4}]{{abcd}}}=2\sqrt{S}(2R^{2}+S).
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1992, № 1, (1990, с. 299), с. 29