16192. Медианы треугольника ABC
пересекаются в точке G
. Для какой точки P
сумма AP\cdot AG+BP\cdot BG+CP\cdot CG
минимальна? Выразите минимум через стороны треугольника.
Ответ. Для точки G
; \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}
.
Решение. Заметим, что
AP\cdot AG=|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AG}|\geqslant\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AG}=(\overrightarrow{GP}-\overrightarrow{GA})\cdot\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GA}^{2}.
(см. задачу 4900). Аналогично,
BP\cdot BG\geqslant-\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GB}^{2},~CP\cdot CG\geqslant-\overrightarrow{GC}\cdot\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GC}^{2}.
Значит,
AP\cdot AG+BP\cdot BG+CP\cdot CG\geqslant
\geqslant\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}+\overrightarrow{GC}^{2}-\overrightarrow{GP}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}+\overrightarrow{GC}^{2},
так как
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4501).
Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, а проведённые к ним медианы равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно. Равенство
AP\cdot AG+BP\cdot BG+CP\cdot CG=\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}+\overrightarrow{GC}^{2}
достигается тогда и только тогда, когда точка P
совпадает с G
. В этом случае (см. задачи 1207 и 4014)
AP\cdot AG+BP\cdot BG+CP\cdot CG=\frac{4}{9}m_{a}^{2}+\frac{4}{9}m_{b}^{2}+\frac{4}{9}m_{c}^{2}=\frac{1}{9}(4m_{a}^{2}+4m_{b}^{2}+4m_{c}^{2})=
=\frac{1}{9}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}+2a^{2}+2c^{2}-b^{2}+2a^{2}+2b^{2}-c^{2})=\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).