16245. Точки D
, E
и F
— середины сторон соответственно BC=a
, CA=b
и AB=c
треугольника ABC
. Докажите, что \angle BEC=\angle BFC
тогда и только тогда, когда AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 4014)
BE^{2}=\frac{1}{4}(2c^{2}+2a^{2}-b^{2}),
поэтому (см. задачу 1207)
BG\cdot BE=\frac{2}{3}BE^{2}=\frac{1}{6}(2c^{2}+2a^{2}-b^{2}).
Кроме того,
BF\cdot BA=\frac{c}{2}\cdot c=\frac{c^{2}}{2}.
Значит, следующие утверждения равносильны:
а) \angle BEC=\angle BFC
;
б) четырёхугольник AEGF
вписанный (см. задачи 6 и 49);
в) BG\cdot BE=BF\cdot BA
(см. задачи 2623 и 114)
г) \frac{c^{2}}{2}=\frac{1}{6}(2c^{2}+2a^{2}-b^{2})
;
д) b^{2}+c^{2}=2a^{2}
;
е) 2AD^{2}=2a^{2}-\frac{1}{2}a^{2}=\frac{3}{2}a^{2}
(см. задачу 4014);
ж) AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 1, задача 3104, (2006, с. 45, 47), с. 52