16318. Радиус вписанной и вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных a
, b
и c
, равны r
, r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
соответственно. Докажите, что
\frac{r_{a}^{2}}{a^{2}+r_{a}^{2}}+\frac{r_{b}^{2}}{b^{2}+r_{b}^{2}}+\frac{r_{c}^{2}}{c^{2}+r_{c}^{2}}\geqslant\frac{4R+r}{4R-r}.
Решение. Применив неравенство Коши—Буняковского к наборам чисел
\left(\frac{r_{a}}{\sqrt{a^{2}+r_{a}^{2}}};\frac{r_{b}}{\sqrt{b^{2}+r_{b}^{2}}};\frac{r_{c}}{\sqrt{c^{2}+r_{c}^{2}}}\right)~\mbox{и}~\left(\sqrt{a^{2}+r_{a}^{2}};\sqrt{b^{2}+r_{b}^{2}};\sqrt{c^{2}+r_{c}^{2}}\right).
(см. задачу 7946) получим
\left(\frac{r_{a}^{2}}{a^{2}+r_{a}^{2}}+\frac{r_{b}^{2}}{b^{2}+r_{b^{2}}}+\frac{r_{c}^{2}}{c^{2}+r_{c}^{2}}\right)\left((a^{2}+r_{a}^{2})+(b^{2}+r_{b}^{2})+(c^{2}+r_{c}^{2})\right)\geqslant
\geqslant(r_{a}+r_{b}+r_{c})^{2},
или
\frac{r_{a}^{2}}{a^{2}+r_{a}^{2}}+\frac{r_{b}^{2}}{b^{2}+r_{b^{2}}}+\frac{r_{c}^{2}}{c^{2}+r_{c}^{2}}\geqslant\frac{(r_{a}+r_{b}+r_{c})^{2}}{(a^{2}+r_{a}^{2})+(b^{2}+r_{b}^{2})+(c^{2}+r_{c}^{2})}.
Пусть полупериметр треугольника равен p
. Воспользуемся следующими равенствами.
r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r
(см. задачу 3240),
r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(r_{a}+r_{b}+r_{c})^{2}-2(r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c})=(4R+r)^{2}-2p^{2}
(см. задачу 3244),
a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc)=4p^{2}-2(r^{2}+p^{2}+4rR)=2(p^{2}-r^{2}-4rR)
(см. задачу 11293). Получим
\frac{(r_{a}+r_{b}+r_{c})^{2}}{(a^{2}+r_{a}^{2})+(b^{2}+r_{b}^{2})+(c^{2}+r_{c}^{2})}=\frac{(r_{a}+r_{b}+r_{c})^{2}}{(r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2})+(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=
=\frac{(4R+r)^{2}}{(4R+r)^{2}-2p^{2}+2(p^{2}-r^{2}-4rR)}=\frac{(4R+r)^{2}}{(4R+r)(4R-r)}=\frac{4R+r}{4R-r}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 6, задача 3566 (2010, с. 396, 398), с. 400