16398. На сторонах BC=a
, CA=b
и AB=c
треугольника ABC
внешним образом построены равносторонние треугольники A_{1}BC
, B_{1}CA
и C_{1}AB
с центрами K
, L
и M
соответственно. Докажите, что
S_{\triangle ALM}+S_{\triangle BMK}+S_{\triangle CKL}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{4}R^{2},
где R
— центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, p
— полупериметр, а угол при вершине A
треугольника ABC
равен \alpha
.
Точки L
и M
— центры равносторонних треугольников B_{1}AC
и C_{1}AB
, поэтому
AL=\frac{b\sqrt{3}}{3},~AM=\frac{c\sqrt{3}}{3},~\angle LAC=\angle MAB=30^{\circ}.
Тогда
\angle LAM=\alpha+60^{\circ}~\Rightarrow~S_{\triangle ALM}=\frac{1}{2}AL\cdot AM\sin\angle LAM=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{b\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{c\sqrt{3}}{3}\cdot\sin(\alpha+60^{\circ})=\frac{bc}{6}\sin(\alpha+60^{\circ})=
=\frac{bc}{6}\left(\frac{1}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right)=\frac{bc}{12}\sin\alpha+\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot2bc\cos\alpha=
=\frac{bc}{12}\cdot\frac{a}{2R}+\frac{\sqrt{3}}{24}(b^{2}+c^{2}-a^{2}),
так как \sin\alpha=\frac{a}{2R}
по теореме синусов, а \cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}
по теореме косинусов. Аналогично,
S_{\triangle BMK}=\frac{ca}{12}\cdot\frac{b}{2R}+\frac{\sqrt{3}}{24}(a^{2}+c^{2}-b^{2}),~S_{\triangle CKL}=\frac{ab}{12}\cdot\frac{c}{2R}+\frac{\sqrt{3}}{24}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Сложив эти три равенства учитывая, что abc=4prR
(см. задачи 4524 и 4259), получим
S_{\triangle ALM}+S_{\triangle BMK}+S_{\triangle CKL}=\frac{abc}{8R}+\frac{\sqrt{3}}{24}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{pr}{2}+\frac{\sqrt{3}}{24}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),
а так как
r\leqslant\frac{1}{2}R,~p\leqslant\frac{3\sqrt{3}R}{2}~\mbox{и}~a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant9R^{2}
(см. задачи 3587, 3226 и 3968), то
\frac{pr}{2}+\frac{\sqrt{3}}{24}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{3}R}{2}\cdot\frac{1}{2}R+\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot9R^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ALM}+S_{\triangle BMK}+S_{\triangle CKL}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{4}R^{2},
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2022, № 5, задача 4695, с. 294