16426. Углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, S
— площадь треугольника. Докажите, что
abc(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)=8S^{2}.
Решение. Первый способ. Из равенства
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
(см. задачу 11287) получаем
2\sin\alpha\cos\alpha+2\sin\beta\cos\beta+2\sin\gamma\cos\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}+\frac{\cos\beta}{\sin\gamma\sin\alpha}+\frac{\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}=2,
а так как
\sin\alpha=\frac{2S}{bc},~\sin\beta=\frac{2S}{ca},~\sin\gamma=\frac{2S}{ab},
то
\frac{a^{2}bc\cos\alpha}{4S^{2}}+\frac{ab^{2}c\cos\beta}{4S^{2}}+\frac{abc^{2}\cos\gamma}{4S^{2}}=2.
Следовательно,
abc(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)=8S^{2}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. См. задачи 3966 и 4259
Примечание. Заметим, что a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma
— периметр ортотреугольника данного остроугольного треугольника (см. задачу 19), а \frac{8S^{3}}{abc}
— произведение трёх высот треугольника. Следовательно, утверждение задачи может быть сформулировано так: произведение трёх высот треугольника равно периметру его ортотреугольника, умноженному на площадь данного треугольника.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1943, том 18, № 1, задача 492, с. 43