16445. Ортогональные окружности с центрами
A
и
B
пересекаются в точках
P
и
Q
. Прямая, проходящая через точку
P
, пересекает эти окружности в точках
M
и
N
соответственно,
S
— середина отрезка
MN
. Докажите, что окружности девяти точек треугольников
ABP
и
ABS
равны.
Решение. Без ограничения общности рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Первый способ. Пусть
M'
,
N'
и
S'
— середины отрезков
PM
,
PN
и
PS
соответственно. Обозначим
MM'=M'P=m
и
PN'=N'N=n
. Тогда
2m+2n=MN~\Rightarrow~\frac{1}{2}MN=m+n.

Тогда
SN'=SN-NN'=\frac{1}{2}MN-n=m+n-n=m=M'N,

а так как
PS'=S'S
, то
S'
— середина отрезка
M'N'
.
Поскольку
AM'\perp MN
и
BN'\perp MN
(см. задачу 1677), то по теореме Фалеса точка
O
пересечения серединного перпендикуляра к
MN
с прямой
AB
— середина отрезка
AB
. Значит,
OP=OS
, а так как из ортогональности окружностей
AP\perp BP
следует, что
\angle APB=90^{\circ}
, то
OS=OP=\frac{1}{2}AB

(см. задачу 1109). Значит, треугольник
ASB
тоже прямоугольный с прямым углом при вершине
S
(см. задачу 1188).
Окружности девяти точек прямоугольных треугольников
ABP
и
ABS
— это окружности, диаметры которых — медианы соответственно
OP
и
OS
этих треугольников, проведённые из вершин прямых углов (см. задачу 174), а так как
OP=OS
, то радиусы этих окружностей равны. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Множество середин
S
всевозможных отрезков
MN
— окружность
\Omega
, проходящая через точки
P
и
Q
(см. задачу 2491). Данные окружности ортогональны, поэтому частным случаем отрезка
MN
является диаметр
PA'
окружности с центром
A
. Следовательно, окружность
\Omega
проходит через
A
. Аналогично,
\Omega
проходит через
B
. Треугольники
ABS
и
ABP
вписаны в одну и ту же окружность
\Omega
, значит, их окружности девяти точек имеют равные радиусы, т. е. равны.

Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1956, том 29, № 5, задача 255, с. 288