16450. Прямые, проходящие через вершины треугольника, а также прямые, проходящие через середины сторон треугольника ABC
, делят периметр треугольника пополам. Докажите, что:
а) первые три прямые пересекаются в одной точке (обозначим её N
);
б) вторые три прямые пересекаются в одной точке (обозначим её S
);
в) точка S
— середина отрезка IN
, где I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. а) См. задачу 4284 (N
— точка Нагеля).
б) и в) Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
; D
, E
и F
— точки на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
, делящие периметр треугольника пополам, т. е. точки касания с этими сторонами вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Пусть прямая, проходящая через середину M
стороны BC
, делит точкой M'
периметр треугольника ABC
пополам. Докажем, что эта прямая параллельна биссектрисе AT
треугольника.
Действительно,
CM'=p-CM=\frac{a+b+c}{2}-\frac{a}{2}=\frac{b+c}{2},
то
\frac{CM'}{CA}=\frac{\frac{b+c}{2}}{b}=\frac{b+c}{2b}.
С другой стороны, по свойству биссектрисы треугольника \frac{BT}{TC}=\frac{c}{b}
(см. задачу 1509), поэтому
CT=\frac{ab}{b+c}~\Rightarrow~\frac{CM}{CT}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{ab}{b+c}}=\frac{b+c}{2b}.
Значит,
\frac{CM'}{CA}=\frac{CM}{CT}~\Rightarrow~MM'\parallel AT.
Далее, пусть прямая, проведённая через точку N
параллельно AT
и MM'
пересекает BC
в точке N'
. Поскольку (см. задачу 1750)
AE=p-c=\frac{a+b-c}{2},~CE=BF=p-a=\frac{b+c-a}{2},~AF=p-b=\frac{a+c-b}{2},
то по теореме Ван-Обеля (см. задачу 1663)
\frac{TN'}{N'D}=\frac{AN}{ND}=\frac{AE}{CE}+\frac{AF}{BF}=\frac{a+b-c}{b+c-a}+\frac{a+c-b}{b+c-a}=\frac{2a}{b+c-a},
откуда
\frac{TN'}{TD}=\frac{2a}{(b+c-a)+2a}=\frac{2a}{a+b+c}.
При этом
DT=BC-BT-CD=a-\frac{ac}{b+c}-\frac{a+c-b}{2}=\frac{ab}{b+c}-\frac{a+c-b}{2}=
=\frac{ab-ac+b^{2}-c^{2}}{2(b+c)}=\frac{a(b-c)+(b^{2}-c^{2})}{2(b+c)}=\frac{(b-c)(a+b+c)}{2(b+c)}.
Кроме того,
TM=BM-BT=\frac{a}{2}-\frac{ac}{b+c}=\frac{a(b-c)}{2(b+c)}.
Значит,
TN'=DT\cdot\frac{2a}{a+b+c}=\frac{(b-c)(a+b+c)}{2(b+c)}\cdot\frac{2a}{a+b+c}=\frac{a(b-c)}{b+c}=2TM.
Тогда M
— середина TN'
, а по теореме Фалеса прямая MM'
проходит через середину S
отрезка IN
. Аналогично, через точку S
проходят остальные два таких отрезка. Отсюда следуют утверждения пунктов б) и в).
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1962, том 35, № 4, задача 468, с. 251