16615. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Окружность, вписанная в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
касается сторон A_{1}B_{1}
, A_{1}C_{1}
и B_{1}C_{1}
в точках C_{2}
, B_{2}
и A_{2}
соответственно. Докажите, что прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника ABC
.
Решение. Прямые, содержащие высоты треугольника ABC
, содержат также биссектрисы треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(см. задачу 533), значит, эти прямые перпендикулярны сторонам треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
(см. задачу 1180). Тогда стороны A_{2}B_{2}
, A_{2}C_{2}
и B_{2}C_{2}
треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно параллельны сторонам AB
, AC
и BC
треугольника ABC
. Следовательно, треугольники ABC
и A_{2}B_{2}C_{2}
гомотетичны (см. задачу 5000). Центр гомотетии лежит на прямой, проходящей через центр описанной окружности треугольника ABC
и центр описанной окружности треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
, т. е. ортоцентр треугольника ABC
. Эта прямая — прямая Эйлера треугольника ABC
(см. задачу 5044), а прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в центре гомотетии. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8-9 классы, задача 6