16640. Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.
Решение. Пусть центр I
вписанной окружности искомого четырёхугольника ABCD
лежит внутри треугольника ABC
. Тогда из четырёхугольника AICD
получаем
\angle AIC=360^{\circ}-\angle DAI-\angle DCI-\angle ADC=360^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAD+\angle BCD)-\angle ADC=
=360^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle ABC)=90^{\circ}+\angle ABC,
откуда \angle ABC=\angle AIC-90^{\circ}
. Таким образом, по данному углу AIC
мы можем построить угол ABC
, а затем — описанную окружность с центром O
(см. задачи 12 и 2889).
Прямая OI
проходит через точку L
пересечения диагоналей искомого четырёхугольника (см. задачу 10995). Пусть M
и N
— середины диагоналей AC
и BD
. Точку L
можно построить как пересечение прямой OI
с данным отрезком AC
. Тогда OM\perp AC
и ON\perp BD
, значит, точки M
и N
лежат на окружности с диаметром OL
.
По теореме Ньютона (см. задачу 4773) точка I
лежит на прямой MN
, поэтому можно построить точку M
, затем диагональ AC
, проведя хорду окружности с центром O
через точки M
и L
. Аналогично можно построить хорду BD
. Таким образом, построен искомый четырёхугольник ABCD
.
Автор: Френкин Б. Р.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, XX, заочный тур, 8-9 классы, задача 7