16746. Дана трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
(AB\lt CD
). Окружность \omega_{1}
, описанная около треугольника ABC
, повторно пересекает сторону AD
в точке F
, а окружность \omega_{2}
, описанная около треугольника ACD
, повторно пересекает сторону BC
в точке E
(точки E
и F
расположены так, как показано на рисунке). Найдите отношение длин отрезков AF
и CE
, если отношение радиуса окружности \omega_{1}
к радиусу окружности \omega_{2}
равно 1:2
.
Ответ. 1:2
.
Решение. Продолжим AB
за точку A
до пересечения с окружностью \omega_{2}
в точке X
, а DC
— за точку C
до пересечения с \omega_{1}
в точке Y
. Тогда ABYC
и ACDX
— равнобедренные трапеции (см. задачу 5003), а BXDY
— параллелограмм, так как
\angle BXD=180^{\circ}-\angle ACD=\angle ACY=180^{\circ}-\angle XBY
и аналогично,
\angle XDY=180^{\circ}-\angle BYD.
Обозначим BX=DE=a
, DX=AC=BY=b
, BC=c
, AD=d
, AB=x
, CD=y
, \angle AXD=\angle XAC=\angle BYC=\alpha
. По теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636) получаем
BE\cdot BC=BA\cdot BX~\Leftrightarrow~(c-CE)c=ax~\Leftrightarrow~CE=\frac{c^{2}-ax}{c}.
Аналогично, AF=\frac{d^{2}-ay}{d}
.
Пусть CM
— высота равнобедренной трапеции ABYC
. Тогда (см. задачи 1921 и 1912)
AM=\frac{AB-CY}{2}=\frac{x-a+y}{2}~\mbox{и}~BM=\frac{AB+CY}{2}=\frac{x+a-y}{2}.
По теореме Пифагора
BC^{2}-BM^{2}=AC^{2}-AM^{2}~\Leftrightarrow~c^{2}-\left(\frac{x+a-y}{2}\right)^{2}=b^{2}-\left(\frac{x-a+y}{2}\right)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~c^{2}-b^{2}=\left(\frac{x+a-y}{2}\right)^{2}-\left(\frac{x-a+y}{2}\right)^{2}~\Leftrightarrow~c^{2}-b^{2}=x(a-y)\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~b^{2}=c^{2}-x(a-y).
Аналогично, из равнобедренной трапеции ACDX
получаем, что
b^{2}=d^{2}-y(a-x).
Значит,
c^{2}-ax=d^{2}-ay.
Пусть R_{1}
и R_{2}
— радиусы окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. Используя полученные выше соотношения и теорему синусов, находим, что
\frac{AF}{CE}=\frac{\frac{d^{2}-ay}{d}}{\frac{c^{2}-ax}{c}}=\frac{c}{d}=\frac{2R_{1}\sin\alpha}{2R_{2}\sin\alpha}=\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{1}{2}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, заключительный этап, 10 класс, задача 7, вариант 13