17020. В трапецию вписана окружность радиуса r
. Точки касания с боковыми сторонами делят их в отношении 1:2
и 1:3
, считая от верхнего основания. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{r^{2}(9\sqrt{2}+8\sqrt{3})}{6}
.
Решение. Пусть окружность с центром O
, вписанная в трапецию ABC
, касается её боковой стороны AB
в точке M
, а боковой стороны CD
— в точке N
. Положим BM=x
, AM=2x
, CN=y
, DN=3y
.
Треугольник AOB
прямоугольный (см. задачу 313), а OM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 2728),
r^{2}=OM^{2}=BM\cdot AM=x\cdot2x=2x^{2}~\Rightarrow~x=\frac{r\sqrt{2}}{2}
Аналогично, y=\frac{r\sqrt{3}}{3}
.
Площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности (см. задачу 523), а так как суммы противоположных сторон такого четырёхугольника равны (см. задачу 310), то полупериметр равен сумме двух противоположных сторон. В нашей задаче — сумме боковых сторон трапеции. Следовательно,
S_{ABCD}=r(3x+4y)=r\left(\frac{3r\sqrt{2}}{2}+\frac{4r\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{r^{2}(9\sqrt{2}+8\sqrt{3})}{6}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1978, задача 2, вариант 5
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 2, с. 53, задача 2