17370. Равнобедренная трапеция ABCD
с периметром 12 описана около окружности с центром O
. Найдите площадь трапеции, если AO=2
.
Ответ. 4\sqrt{5}
.
Решение. Пусть окружность радиуса r
касается оснований AD
и BC
трапеции ABCD
в точках K
и L
соответственно, а боковой стороны AB
— в точке M
.
Обозначим BL=BM=x
, AM=AK=y
, p=6
— полупериметр трапеции, S
— площадь. Треугольник AOB
прямоугольный (см. задачу 313), а OM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
4=OA^{2}=AM\cdot AB=y(x+y).
В то же время (см. задачу 310),
2AB=AB+CD=BC+AD=\frac{p}{2}~\Rightarrow~2(x+y)=6.
Из системы
\syst{y(x+y)=4\\x+y=3\\}
находим, что y=\frac{4}{3}
и x=\frac{5}{3}
. Тогда (см. задачу 2728)
r=OM=\sqrt{AM\cdot BM}=\sqrt{\frac{5}{3}\cdot\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}.
Следовательно (см. задачу 523),
S=pr=6\cdot\frac{2\sqrt{5}}{3}=4\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1996, задача 3, вариант 2.4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 172, задача 3, вариант 2.4