17636. Окружность \omega_{A}
проходит через вершину A
треугольника ABC
и касается прямой BC
в точке B
. Окружность \omega_{C}
проходит через вершину C
и касается прямой AB
в точке B
. Окружности \omega_{A}
и \omega_{C}
вторично пересекаются в точке D
, M
— середина стороны BC
, E
— точка пересечения прямых MD
и AC
. Докажите, что точка E
лежит на окружности \omega_{A}
.
Решение. Пусть N
— середина стороны AB
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87)
\angle CBD=\angle BAD~\mbox{и}~\angle DBA=\angle DCB,
поэтому треугольники DBA
и DBC
подобны по двум углам. Медиана DN
треугольника DBA
при этом подобии соответствует медиане DM
треугольника DBC
, поэтому треугольники AND
и BMD
тоже подобны (см. задачу 2602). Значит,
\angle BND=180^{\circ}-\angle DNA=180^{\circ}-\angle DMB.
Следовательно (см. задачу 49), четырёхугольник BNDM
вписанный. Тогда, учитывая что MN\parallel AC
(так как MN
— средняя линия треугольника ABC
), получаем
\angle DBA=\angle DBN=\angle EMN=\angle EMN=\angle MEA=\angle DEA.
Значит, точки E
, A
, D
и B
лежат на одной окружности (см. задачу 12) — на окружности \omega_{A}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2020, задача 3