17851. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине B
. Точка D
— середина катета BC
, точка E
лежит на гипотенузе AC
, причём DE
— биссектриса угла ADC
. Найдите AD
, если DE=DC=1
.
Ответ. 2+\sqrt{5}
.
Решение. Обозначим AD=x
. По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AD^{2}-BD^{2}}=\sqrt{x^{2}-1},
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(x^{2}-1)+2^{2}}=\sqrt{x^{2}+3}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{CD}=x~\Rightarrow~AE=\frac{x}{x+1}AC=\frac{x\sqrt{x^{2}+3}}{x+1}.
Медиана ED
треугольника BEC
равна половине стороны BC
, поэтому треугольник BEC
прямоугольный с прямым углом при вершине E
(см. задачу 1188), а прямая AB
— касательная к окружности с диаметром BC
(см. задачу 1735). Тогда по теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
AB^{2}=AE\cdot AC,~\mbox{или}~x^{2}-1=\frac{x(x^{2}+3)}{x+1}.
После очевидных упрощений получим квадратное уравнение x^{2}-4x-1=0
. Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень. Следовательно,
AD=x=2+\sqrt{5}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2019, задача 10