17959. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Точка D
лежит на отрезке BC
, а окружность \omega
касается описанной окружности \Omega
треугольника ABC
, а также касается отрезков DC
и DA
в точках E
и F
соответственно. Докажите, что точки E
, F
и I
лежат на одной прямой.
Указание. Примените лемму Архимеда об окружности, вписанной в сегмент (см. задачу 89).
Решение. Пусть окружность \omega
касается окружности \Omega
в точке K
, а M
— середина меньшей дуги BC
окружности \Omega
. По лемме Архимеда об окружности, вписанной в сегмент (см. задачу 89), точки K
, E
и M
лежат на одной прямой. Кроме того точки A
, I
и M
лежат на одной прямой — на биссектрисе угла BAC
(см. задачи 1140 и 430).
Пусть луч EI
пересекает окружность \omega
в точке F'
. Докажем, что точка F'
совпадает с F
.
Пусть L
— точка на общей касательной в точке K
окружностей \omega
и \Omega
, лежащая с точкой A
по разные стороны от прямой KM
. Поскольку окружности \omega
и \Omega
касаются в точке K
, то
\angle KF'E=\angle EF'K=\angle MKL=\angle MAK=\angle KAI,
поэтому четырёхугольник AKIF'
вписанный.
Кроме того, MI=MC
(см. задачу 788) и
\angle MCB=\angle MBC=\angle MKC,
поэтому треугольники MEC
и MCK
с общим углом при вершине M
подобны по двум углам. Тогда
\frac{ME}{MC}=\frac{MC}{MK}~\Rightarrow~MI^{2}=MC^{2}=ME\cdot MK~\Rightarrow~\frac{MI}{MK}=\frac{ME}{MI}.
Значит, треугольники MEI
и MIK
с общим углом при вершине M
подобны. Тогда равны их соответствующие внешние углы при вершинах E
и I
. Учитывая вписанность четырёхугольника AKIF'
, получаем равенство углов AIK
и AF'K
. Таким образом,
\angle KEI=\angle AIK=\angle AF'K.
Следовательно (см. задачу 144), прямая AF'
— касательная к окружности \omega
, т. е. точка F'
совпадает с F
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2016, задача 2, с. 67