17986. Около треугольника ABC
, в котором AB\lt AC
, описана окружность \Gamma
с центром O
и проведена биссектриса AD
. Прямая, проходящая через точку D
перпендикулярно BC
, пересекает отрезок AO
в точке X
. Точка Y
— середина отрезка AD
. Докажите, что точки B
, C
, X
и Y
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть AH
— высота треугольника. Тогда \angle BAH=\angle OAC
(см. задачу 20), а так как XD\parallel AH
, а AD
— биссектриса угла BAC
, то
\angle XAD=\angle DAC-\angle OAC=\angle DAB-\angle BAH=\angle DAH=\angle ADX.
Значит, треугольник AXD
равнобедренный, XA=XD
.
Пусть касательная к окружности \Gamma
пересекает прямую BC
в точке P
(точка B
лежит между C
и P
, так как AB\lt AC
). Тогда треугольник APC
тоже равнобедренный, PA=PD
(см. задачу 4708).
Точки X
и P
равноудалены от концов отрезка AD
, поэтому прямая PX
— серединный перпендикуляр к отрезку AD
. Отрезок PY
— проекция катета AP
прямоугольного треугольника PAX
на гипотенузу PX
, поэтому
PY\cdot PX=PA^{2}=PB\cdot PC
(см. задачи 2728 и 93). Следовательно, точки B
, C
, X
и Y
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Что и требовалось доказать.
Источник: Чешско-польско-словацкий турнир. — 2022, задача 5