18302. Точка I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
треугольника ABC
, точка M
— середина стороны BC
, а W
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с описанной описанной окружностью треугольника ABC
. Докажите, что площадь треугольника I_{a}BC
можно вычислить по формуле S_{\triangle I_{a}BC}=BC\cdot MW
, где p
— полупериметр треугольника ABC
.
Решение. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
, BC=a
, r
и r_{a}
— радиусы соответственно вписанной и указанной в условии вневписанной окружностей треугольника ABC
, K
и T
соответственно — точки их касания со стороной BC
. Ясно, что
S_{\triangle I_{a}BC}=\frac{1}{2}BC\cdot I_{a}T=\frac{1}{2}ar_{a},
поэтому достаточно доказать, что MW=\frac{ar_{a}}{2p}
. Действительно (см. задачи 452 и 392),
\frac{ar_{a}}{2p}=\frac{a\cdot S}{2p(p-a)}=\frac{a\cdot r}{2(p-a)}=\frac{pr-(p-a)r}{2(p-a)}=
=\frac{S-(p-a)r}{2(p-a)}=\frac{(p-a)r-(p-a)r}{2(p-a)}=\frac{r_{a}-r}{2}.
Осталось доказать, что MW=\frac{r_{a}-r}{2}
.
Точки I
, W
и I_{a}
лежат на одной прямой — прямой, содержащей биссектрису угла BAC
, причём по теореме Мансиона (см. задачу 57) точка W
— середина отрезка II_{a}
.
В то же время, прямая MW
перпендикулярна стороне BC
, так как W
— середина не содержащей точки A
дуги описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 430), поэтому WM
— высота треугольника I_{a}BC
.
Пусть K
и T
— точки касания со стороной BC
соответственно вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC
, а G
— точка пересечения прямых WM
и IT
. Тогда I_{a}T\parallel MW\parallel IK
.
Поскольку I_{a}T\parallel MW
, а W
— середина отрезка II_{a}
, то WG
— средняя линия треугольника I_{a}IT
, поэтому GW=\frac{1}{2}I_{a}T=r_{a}
. Значит,
MW=GW-GM=\frac{1}{2}r_{a}-\frac{1}{2}r=\frac{r_{a}-r}{2}=\frac{ar_{a}}{2p}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Мороз Н.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2019, III, задача 6, 10-11 классы, с. 8