4860. Докажите, что если ABCD
— вписанный четырёхугольник, то сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC
и ACD
, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BCD
и BDA
.
Указание. Докажите что центры указанных окружностей являются вершинами прямоугольника (см. задачу 4859) или примените формулу Карно (см. примечание к задаче 3257).
Решение. Первый способ. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABC
, BCD
, CDA
и DAB
; r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
, r_{4}
— их радиусы. Четырёхугольник O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
— прямоугольник (см. задачу 4859).
Пусть M
и L
— точки касания вписанных окружностей треугольников ABD
и BCD
с диагональю BD
(рис. 1). Тогда
DL=\frac{AD+BD+AB}{2}-AB=\frac{AD+BD-AB}{2},
DM=\frac{BD+DC+BC}{2}-BC=\frac{BD+DC-BC}{2}
(см. задачу 219),
ML=|DL-DM|=\frac{|AD+BC-AB-CD|}{2}.
Пусть E
— проекция точки O_{2}
на прямую O_{4}M
. Тогда в прямоугольном треугольнике O_{2}EO_{4}
катет EO_{4}=EM+MO_{4}=r_{2}+r_{4}
.
Пусть P
и Q
— точки касания вписанных окружностей треугольников ABC
и ADC
с диагональю AC
(рис. 2), а F
— проекция точки O_{3}
на прямую O_{1}P
. Рассуждая аналогично, получим, что
PQ=\frac{|AD+BC-AB-CD|}{2}=ML.
Поэтому прямоугольные треугольники O_{1}FO_{3}
и O_{2}EO_{4}
равны (по катету и гипотенузе). Следовательно,
r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.
Второй способ. Пусть r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
, r_{4}
— радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC
, BCD
, CDA
и DAB
соответственно. Рассмотрим случай, когда углы при вершинах A
и D
четырёхугольника ABCD
острые, а центр O
его описанной окружности радиуса R
лежит внутри него. Поскольку четырёхугольник вписанный, его углы при вершинах C
и B
— тупые.
Обозначим расстояния от точки O
до сторон AB
, BC
, CD
и AD
через d_{1}
, d_{2}
, d_{3}
и d_{4}
соответственно, а до диагоналей AC
и BD
— через d_{5}
и d_{6}
соответственно. По формуле Карно (см. задачу 3257)
d_{1}+d_{2}-d_{5}=r_{1}+R,~d_{3}+d_{4}+d_{5}=r_{3}+R,
откуда
d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}=r_{1}+r_{3}+2R.
Аналогично,
d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}=r_{2}+r_{4}+2R.
Следовательно,
r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.
Аналогично для всех остальных случаев.
Третий способ. Воспользуемся следующим утверждением (см. задачу 3238). Для произвольного треугольника MNK
верно равенство
\cos\angle M+\cos\angle N+\cos\angle K=1+\frac{r}{R},
где r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника.
Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, по теореме о вписанных углах
\angle ACB=\angle ADB,~\angle BDC=\angle BAC,~\angle CAD=\angle CBD,~\angle DBA=\angle DCA.
Обозначим эти углы через \alpha
, \beta
, \gamma
, \delta
соответственно. Тогда, если R
— радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
, то
\cos\beta+\cos\gamma+\cos(\alpha+\delta)=1+\frac{r_{a}}{R},
откуда
r_{a}=R(\cos\beta+\cos\gamma+\cos(\alpha+\delta)-1).
Аналогично,
r_{c}=R(\cos\alpha+\cos\delta+\cos(\beta+\gamma)-1).
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180^{\circ}
, поэтому \cos(\alpha+\delta)=-\cos(\beta+\gamma)
. Тогда, сложив два доказанных выше равенства, получим
r_{a}+r_{c}=(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\delta-2)R.
Аналогично,
r_{b}+r_{d}=(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\delta-2)R.
Следовательно,
r_{a}+r_{c}=r_{b}+r_{d}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Аналогичное утверждение верно для любого вписанного многоугольника: для любого разбиения вписанного многоугольника на треугольники диагоналями (рис. 3) сумма радиусов вписанных в треугольники окружностей одна и та же (см. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929); Fukagawa, Hidetoshi; Pedoe, D. (1989). Japanese Temple Geometry. Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Center. Pp.125-128; Reyes, Wilfred (2002). «An Application of Thebault's Theorem». Forum Geometricorum. 2: 183-185).