4878. Докажите, что точки пересечения высот четырёх треугольников, образованных четырьмя пересекающимися прямыми плоскости, лежат на одной прямой (прямая Обера четырёхсторонника).
Указание. 1. Четыре окружности, описанные около четырёх треугольников, образованных четырьмя пересекающимися прямыми плоскости, имеют общую точку (точка Микеля, см. задачу 995).
2. Прямая, гомотетичная прямой Симсона треугольника, соответствующей точке P
его описанной окружности, проходит через точку пересечения высот треугольника (см. задачу 4877).
3. Прямые Симсона всех четырёх треугольников, соответствующие точке Микеля, совпадают.
Решение. Первый способ. Пусть прямые AB
, AC
и BC
пересекают четвёртую прямую в точках D
, E
и F
соответственно. По задаче 995 описанные окружности треугольников ABC
, DBF
, ADE
и CFE
имеют общую точку P
(точка Микеля). Две стороны каждого из этих треугольников лежат на тех же прямых, что и две стороны каждого из оставшихся. Поэтому прямые Симсона (см. задачу 83) всех четырёх треугольников, соответствующие точке P
, совпадают (рис. 1).
Прямая, гомотетичная с центром P
и коэффициентом 2 прямой Симсона, соответствующей точке P
описанной окружности треугольника, проходит через ортоцентр треугольника (см. задачу 4877). Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ (Д.Швецов). Пусть прямые AB
, AC
и BC
пересекают четвёртую прямую в точках D
, E
и F
соответственно (рис. 2).
Пусть окружность с диаметром BE
вторично пересекает прямую AB
в точке E_{1}
, а окружность с диаметром AF
вторично пересекает прямую FE
в точке F_{1}
. Тогда EE_{1}
и AF_{1}
— высоты треугольника ADE
. Точка их пересечения лежит на радикальной оси построенных окружностей (см. задачу 6011). Аналогично точка пересечения высот треугольника CEF
лежит на этой радикальной оси.
Пусть окружность с диаметром BE
вторично пересекает прямую AC
в точке B_{1}
, а окружность с диаметром AF
вторично пересекает прямую FB
в точке A_{1}
. Тогда BB_{1}
и AA_{1}
— высоты треугольника ABC
. Точка их пересечения лежит на радикальной оси построенных окружностей. Аналогично точка пересечения высот треугольника BDF
лежит на этой радикальной оси.
Следовательно, точки пересечения высот треугольников ABC
, BDF
, ADE
и CEF
лежат на одной прямой — радикальной оси окружностей с диаметрами BE
и AF
.