5255. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Пусть P
и Q
— точки пересечения лучей BA
и CD
, BC
и AD
соответственно, а H
— проекция D
на PQ
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP
и CDQ
видны из точки H
под равными углами.
Решение. Пусть \omega_{1}
и \omega_{2}
— вписанные окружности треугольников ADP
и CDQ
, I_{1}
и I_{2}
— их центры, r_{1}
и r_{2}
— их радиусы. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
гомотетичны с центром D
, поэтому \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{DI_{1}}{DI_{2}}
.
Лучи HI_{1}
и HI_{2}
— биссектрисы углов, под которыми окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
видны из точки H
. Пусть прямые, проходящие через точку H
касаются окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
в точках M
и N
соответственно. Тогда равенство указанных углов равносильно равенству синусов углов MHI_{1}
и NHI_{2}
прямоугольных треугольников MHI_{1}
и NHI_{2}
, т. е. равенству \frac{r_{1}}{HI_{1}}=\frac{r_{2}}{HI_{2}}
, или \frac{HI_{1}}{HI_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}
.
1. Пусть r_{1}\ne r_{2}
(рис. 1), а S
— центр гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей \omega_{1}
в \omega_{2}
(т. е. точка пересечения общих внешних касательных к окружностям).
Тогда \frac{SI_{1}}{SI_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}
, значит, равенство указанных в условии углов равносильно равенству
\frac{HI_{1}}{HI_{2}}=\frac{DI_{1}}{DI_{2}}=\frac{HI_{1}}{HI_{2}}.
Известно, что множество всех точек X
таких, что
\frac{XI_{1}}{XI_{2}}=\frac{DI_{1}}{DI_{2}}=\frac{SI_{1}}{SI_{2}},
есть окружность Аполлония (см. задачу 2444), а так как HD
и HS
— биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине H
треугольника I_{1}HI_{2}
(см. задачу 1510), то последнее условие равносильно тому, что \angle DHS=90^{\circ}
, т. е. тому, что точка S
лежит на прямой PQ
. Остаётся доказать, что условие S\in PQ
равносильно описанности четырёхугольника ABCD
.
Пусть четырёхугольник ABCD
описан вокруг некоторой окружности \omega
. Из теоремы о центрах трёх гомотетии (см. задачу 6434) следует, что точки S
, P
и Q
лежат на одной прямой (как центры гомотетий с положительными коэффициентами, переводящих \omega_{1}
в \omega_{2}
, \omega
в \omega_{1}
, \omega_{2}
в \omega
).
Наоборот, предположим, что S
лежит на PQ
. Пусть \omega
— вневписанная окружность треугольника CDQ
, касающаяся его стороны CD
. Пусть T
— центр гомотетии с положительным коэффициентом окружностей \omega
и \omega_{1}
(точка пересечения их общих внешних касательных). Из теоремы о трёх центрах гомотетии следует, что T
, Q
и S
лежат на одной прямой, т. е. T
лежит на прямой PQ
. С другой стороны, T
лежит на прямой PC
, поэтому T
совпадает с P
. Тогда прямая PB
касается \omega
, т. е. четырёхугольник ABCD
описан вокруг \omega
.
2. Пусть r_{1}=r_{2}
(рис. 2). Тогда \omega_{1}
и \omega_{2}
симметричны относительно биссектрисы l
угла ADC
. Если четырёхугольник ABCD
описан около \omega
, то \omega
симметрична относительно l
. Значит, общие внешние касательные прямые AB
и CD
окружностей \omega_{1}
и \omega
соответственно симметричны общим внешним касательным прямым BC
и AD
окружностей \omega_{2}
и \omega
. Следовательно, точка B
лежит на оси симметрии, т. е. на прямой l
, а точка P
пересечения прямых AB
и CD
симметрична относительно l
точке Q
пересечения прямых BC
и AD
, поэтому прямая l
проходит через точку H
, и HI_{1}=HI_{2}
.
Из равенства прямоугольных треугольников HMI_{1}
и HNI_{2}
(по катету и гипотенузе) следует равенство углов I_{1}HM
и I_{2}HN
, а значит, и равенство вдвое больших углов, под которыми окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
видны из точки H
.
Обратно, из равенства этих углов следует равенство углов I_{1}HM
и I_{2}HN
, а значит, равенство отрезков HI_{1}
и HI_{2}
. При этом HD
— медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника I_{1}HI_{2}
, прямые I_{1}I_{2}
и PQ
параллельны (обе перпендикулярны прямой HD
), а так как D
— середина I_{1}I_{2}
, то H
— середина PQ
. Касательная прямая PD
к окружности \omega_{1}
симметрична касательной прямой QD
к окружности \omega_{2}
относительно прямой HD
, значит, прямая PB
(вторая касательная к окружности \omega_{1}
) симметрична прямой QB
. Поэтому точка B
их пересечения лежит на прямой HD
. Тогда четырёхугольник ABCD
также симметричен относительно этой прямой. Следовательно, в него можно вписать окружность (см. задачу 364, первый способ, пункт а)).