5453. Данный треугольник разделите на две равновеликие части прямой, перпендикулярной большей его стороне.
Решение. Пусть AH=h
— высота треугольника ABC
, проведённая к его большей стороне BC=a
. Тогда точка H
лежит на стороне BC
(см. задачи 3499 и 127). Обозначим CH=m
. Рассмотрим случай, когда AC\gt AB
. Тогда m=CH\gt\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a
. Заметим, что треугольник ABC
полностью определяется отрезками a
, h
и m
.
Предположим задача решена: на сторонах BC
и AC
построены точки соответственно M
и N
, причём MN\perp BC
и S_{\triangle MNC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}
. Обозначим MN=x
. Прямоугольный треугольник MNC
подобен треугольнику HAC
с коэффициентом \frac{x}{h}
, поэтому CM=\frac{x}{h}CH=\frac{xm}{h}
. Тогда
S_{\triangle MCN}=\frac{1}{2}CM\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot\frac{xm}{h}\cdot x=\frac{x^{2}m}{2h},
а так как S_{\triangle MNC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}
, то \frac{x^{2}m}{2h}=\frac{ah}{4}
. Значит, x^{2}=\frac{ah^{2}}{2m}
, или x=\sqrt{\frac{ah^{2}}{2m}}
.
Отсюда вытекает следующее построение. По данными отрезкам h
и m
строим отрезок 2m
и отрезок t=\frac{h^{2}}{2m}=\frac{h\cdot h}{2m}
(см. задачу 2608). Затем по известным отрезкам t
и a
строим отрезок x=\sqrt{at}
(см. задачу 1986). Далее, через произвольную точку P
стороны AC
проводим прямую, параллельную AH
и пересекающую сторону BC
в некоторой точке Q
. На луче PQ
откладываем отрезок PX=x=\sqrt{\frac{ah^{2}}{2m}}
и через точку X
проводим прямую, параллельную AC
. Эта прямая пересекает сторону BC
в искомой точке N
, а прямая, проведённая через точку N
параллельно AH
, пересекает сторону AC
в искомой точке M
.
Действительно, прямоугольный треугольник MNC
подобен треугольнику HAC
с коэффициентом
k=\frac{MN}{AH}=\frac{x}{h}=\frac{\sqrt{\frac{ah^{2}}{2m}}}{h}=\sqrt{\frac{a}{2m}},
поэтому CM=kCH=\frac{x}{h}CH=m\sqrt{\frac{a}{2m}}
. Тогда
S_{\triangle MNC}=\frac{1}{2}CM\cdot MN=\frac{1}{2}CM\cdot x=\frac{1}{2}m\sqrt{\frac{a}{2m}}\cdot\sqrt{\frac{ah^{2}}{2m}}=\frac{1}{4}ah=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}.
Задача имеет единственное решение.
Аналогично для случая, когда AC\lt AB
. Если же AC=AB
, то треугольник ABC
равнобедренный. Тогда высота, проведённая из вершины A
, разбивает его на два равных, а значит, равновеликих треугольника.