5455. Четырёхугольник
ABCD
является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в
ABCD
окружность касается его сторон
AB
,
BC
,
CD
и
AD
в точках
K
,
L
,
M
,
N
соответственно. Биссектрисы внешних углов
A
и
B
четырёхугольника пересекаются в точке
K'
, внешних углов
B
и
C
— в точке
L'
, внешних углов
C
и
D
— в точке
M'
, внешних углов
D
и
A
— в точке
N'
. Докажите, что прямые
KK'
,
LL'
,
MM'
и
NN'
проходят через одну точку.
Решение. Если
ABCD
— трапеция (скажем,
AB\parallel CD
), то прямые
L'L
и
N'N
имеют общую точку пересечения с серединным перпендикуляром к
AB
, на котором лежат
K
,
K'
,
M
и
M'
(рис. 1).
Пусть прямые
AB
и
CD
пересекаются в точке
E
, а прямые
BC
и
AD
— в точке
F
(рис. 2). Заметим, что точки
K'
и
M'
лежат на биссектрисе угла
CFD
(см. задачи 1140 и 1192). Пусть эта биссектриса пересекает
AB
и
CD
в точках
P
и
Q
соответственно.
Поскольку четырёхугольник
ABCD
— вписанный и
FP
— биссектриса угла
CFD
, то
\angle FAP=\angle FCQ
и
\angle PFA=\angle CFQ
, значит, треугольники
AFP
и
CFQ
подобны по двум углам. Тогда
\angle EPQ=\angle FPA=\angle FQC=\angle EQP.

Следовательно, биссектриса угла
AED
является высотой равнобедренного треугольника
EPQ
. Поскольку
L'
и
N'
лежат на этой биссектрисе, то
K'M'\perp L'N'
. Но биссектриса угла
AED
перпендикулярна
KM
, поэтому
KM\parallel K'M'
. Аналогично
LN\parallel L'N'
.
Прямая
KL
перпендикулярна биссектрисе угла
ABC
, а значит, параллельна биссектрисе внешнего угла
B
, следовательно,
K'L'\parallel KL
(аналогично
L'M'\parallel LM
). Таким образом, у треугольников
KLM
и
K'L'M'
соответствующие стороны параллельны, а значит, треугольники гомотетичны (см. задачу 5000). При этой гомотетии
K
переходит в
K'
, а
M
— в
M'
, а так как параллельные прямые переходят в параллельные, то прямые
KN
и
MN
переходят в
K'N'
и
M'N'
соответственно (см. задачу 5707). Значит,
N
переходит в
N'
. Следовательно, прямые
KK'
,
LL'
,
MM'
,
NN'
проходят через центр гомотетии.