5455. Четырёхугольник ABCD
является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD
окружность касается его сторон AB
, BC
, CD
и AD
в точках K
, L
, M
, N
соответственно. Биссектрисы внешних углов A
и B
четырёхугольника пересекаются в точке K'
, внешних углов B
и C
— в точке L'
, внешних углов C
и D
— в точке M'
, внешних углов D
и A
— в точке N'
. Докажите, что прямые KK'
, LL'
, MM'
и NN'
проходят через одну точку.
Решение. Если ABCD
— трапеция (скажем, AB\parallel CD
), то прямые L'L
и N'N
имеют общую точку пересечения с серединным перпендикуляром к AB
, на котором лежат K
, K'
, M
и M'
(рис. 1).
Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
, а прямые BC
и AD
— в точке F
(рис. 2). Заметим, что точки K'
и M'
лежат на биссектрисе угла CFD
(см. задачи 1140 и 1192). Пусть эта биссектриса пересекает AB
и CD
в точках P
и Q
соответственно.
Поскольку четырёхугольник ABCD
— вписанный и FP
— биссектриса угла CFD
, то \angle FAP=\angle FCQ
и \angle PFA=\angle CFQ
, значит, треугольники AFP
и CFQ
подобны по двум углам. Тогда
\angle EPQ=\angle FPA=\angle FQC=\angle EQP.
Следовательно, биссектриса угла AED
является высотой равнобедренного треугольника EPQ
. Поскольку L'
и N'
лежат на этой биссектрисе, то K'M'\perp L'N'
. Но биссектриса угла AED
перпендикулярна KM
, поэтому KM\parallel K'M'
. Аналогично LN\parallel L'N'
.
Прямая KL
перпендикулярна биссектрисе угла ABC
, а значит, параллельна биссектрисе внешнего угла B
, следовательно, K'L'\parallel KL
(аналогично L'M'\parallel LM
). Таким образом, у треугольников KLM
и K'L'M'
соответствующие стороны параллельны, а значит, треугольники гомотетичны (см. задачу 5000). При этой гомотетии K
переходит в K'
, а M
— в M'
, а так как параллельные прямые переходят в параллельные, то прямые KN
и MN
переходят в K'N'
и M'N'
соответственно (см. задачу 5707). Значит, N
переходит в N'
. Следовательно, прямые KK'
, LL'
, MM'
, NN'
проходят через центр гомотетии.
Автор: Берлов С. Л.
Автор: Емельянов Л. А.
Автор: Смирнов А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2003-2004, XXX, заключительный этап, 10 класс