5724. В остроугольном треугольнике ABC
точка H
— ортоцентр. Докажите, что прямые Эйлера треугольников HBC
, HAC
и HAB
пересекаются в центре окружности девяти точек треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
и Q
— центры описанных окружностей треугольников ABC
и HBC
. Эти окружности равны (см. задачу 5046), а отрезок BC
— их общая хорда, поэтому точки O
и Q
симметричны относительно прямой BC
.
Точка A
— ортоцентр тупоугольного треугольника HBC
, а Q
— центр описанной окружности этого треугольника, поэтому AQ
— прямая Эйлера треугольника HBC
(см. задачу 5044). Центр окружности девяти точек треугольника ABC
— середина отрезка OH
(см. задачу 174). Таким образом, достаточно доказать, что прямая AQ
проходит через середину отрезка OH
.
Пусть A_{1}
— середина стороны BC
. Тогда AH=2OA_{1}=OQ
(см. задачу 1257), а так как AH\parallel OQ
, то четырёхугольник AHQO
— параллелограмм. Его диагональ AQ
проходит через середину диагонали OH
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для прямых Эйлера треугольников HAC
и HAB
.