6908. В большую из двух внутренне касающихся окружностей вписан равносторонний треугольник. Из его вершин проведены касательные к меньшей окружности. Докажите, что длина одной из касательных равна сумме длин двух других.
Указание. См. задачи 93, 6401 и 17.
Решение. Пусть окружности касаются в точке T
, ABC
— равносторонний треугольник, вписанный в большую окружность, прямые, проведённые из вершин A
, B
и C
, касаются меньшей окружности в точках M
, N
и P
соответственно, а отрезки AT
, BT
и CT
пересекают меньшую окружность в точках соответственно D
, E
и F
.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
AM^{2}=AD\cdot AT,~BN^{2}=BE\cdot BT,~CP^{2}=CF\cdot CT.
Разделив первое и второе равенства на третье, получим, что
\frac{AM^{2}}{CP^{2}}=\frac{AD\cdot AT}{CF\cdot CT},~\frac{BN^{2}}{CP^{2}}=\frac{BE\cdot CF}{BT\cdot CT}.
Меньшая окружность гомотетична большей с центром гомотетии T
(см. задачу 6401), значит, DF\parallel AC
, EF\parallel BC
(см. задачу 5707). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{AD}{CF}=\frac{AT}{CT},~\frac{BT}{CT}=\frac{BE}{CF},
поэтому
\frac{AM^{2}}{CP^{2}}=\frac{AD\cdot AT}{CF\cdot CT}=\frac{AD}{CF}\cdot\frac{AT}{CT}=\frac{AT}{CT}\cdot\frac{AT}{CT}=\frac{AT^{2}}{CT^{2}},
\frac{BN^{2}}{CP^{2}}=\frac{BE\cdot BT}{CF\cdot CT}=\frac{BT}{CT}\cdot\frac{BE}{CF}=\frac{BT}{CT}\cdot\frac{BT}{CT}=\frac{BT^{2}}{CT^{2}}.
Значит,
\frac{AM}{CP}=\frac{AT}{CT},~\frac{BN}{CP}=\frac{BT}{CT}.
Сложив эти равенства, получим, что
\frac{AM+BN}{CP}=\frac{AT+BT}{CT}.
Поскольку точка T
лежит на меньшей дуге AB
описанной окружности равностороннего треугольника ABC
, то AT+BT=CT
(см. задачу 17). Значит,
\frac{AM+BN}{CP}=\frac{AT+BT}{CT}=1.
Следовательно, AM+BN=CP
. Что и требовалось доказать.
Источник: Международная математическая олимпиада. — Задачи из материалов жюри
Источник: Морозова Е. А., Петраков И. С. Международные математические олимпиады. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — , № 128, с. 43