7339. Докажите, что для равногранного тетраэдра:
а) радиус вписанного шара вдвое меньше радиуса шара, касающегося одной грани тетраэдра и продолжений трёх других (такой шар называется вневписанным);
б) центры четырёх вневписанных шаров являются вершинами тетраэдра, равного данному.
Решение. а) Рассмотрим описанный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного равногранного тетраэдра A_{1}BC_{1}D
. Поскольку тетраэдр равногранный, то этот параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7994), а центр его вписанного шара совпадает с центром описанного, т. е. с центром O
параллелепипеда (см. задачи 7280 и 7283).
Вершина A
равноудалена от плоскостей BA_{1}D
, A_{1}BC_{1}
, A_{1}DC_{1}
и BC_{1}D
(см. задачу 7338), т. е. является центром вневписанной сферы равногранного тетраэдра A_{1}BC_{1}D
.
Пусть P
и Q
— точки касания соответственно вписанного и описанного шаров с плоскостью грани BA_{1}D
, M
— точка пересечения медиан треугольника BA_{1}D
. Точка M
лежит на диагонали AC_{1}
параллелепипеда и делит её в отношении \frac{AM}{MC_{1}}=\frac{1}{2}
(см. задачу 7212), а так как O
— середина AC_{1}
, то \frac{OM}{AM}=\frac{1}{2}
. Следовательно,
\frac{OP}{AQ}=\frac{OM}{AM}=\frac{1}{2}.
Аналогично для точек C
, D_{1}
и B_{1}
.
б) При симметрии относительно точки O
вершина A_{1}
тетраэдра A_{1}BC_{1}D
переходит в вершину C
тетраэдра CD_{1}AB_{1}
, вершина B
— в вершину D_{1}
, вершина C_{1}
— в вершину A
, вершина D
— в вершину B_{1}
. Следовательно, эти тетраэдры равны.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.32, с. 103
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.39, с. 112
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 324, с. 43
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 6.38, с. 118