8250. В тетраэдре ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой вершине равны 180^{\circ}
. Найдите объём тетраэдра и расстояние между прямыми AB
и CD
, если BC=4
, AC=5
, AB=6
.
Ответ. \frac{15}{4}\sqrt{6}
, \frac{\sqrt{10}}{2}
.
Указание. Рассмотрите развёртку тетраэдра на плоскость ABC
. Докажите, что все грани тетраэдра — равные треугольники. Далее см. задачу 2767.
Решение. Развёртка D_{1}AD_{2}BD_{3}C
тетраэдра ABCD
на плоскость треугольника ABC
— треугольник, поэтому тетраэдр равногранный (см. задачу 7270). Значит, его противоположные рёбра попарно равны, т. е.
AD=BC=4,~DB=AC=5,~DC=AB=6.
Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Тогда полученный параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7267). Диагонали его граней равны 4, 5 и 6.
Пусть рёбра параллелепипеда, перпендикулярные граням, содержащим отрезки AB
, AC
и BC
, равны x
, y
и z
соответственно. Тогда
\syst{x^{2}+y^{2}=16\\x^{2}+z^{2}=25\\y^{2}+z^{2}=36.}
Из этой системы находим, что
x=\sqrt{\frac{5}{2}},~y=\sqrt{\frac{27}{2}},~z=\sqrt{\frac{45}{2}}.
Расстояние d
между прямыми AB
и CD
равно длине отрезка, соединяющего середины AB
и CD
, т. е. d=x=\sqrt{\frac{5}{2}}
.
Пусть V
— объём параллелепипеда, а V_{1}
— объём тетраэдра ABCD
. Тогда (см. задачу 7233)
V_{1}=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}xyz=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{5}{2}\cdot\frac{27}{2}\cdot\frac{45}{2}}=\frac{15\sqrt{6}}{4}.