9183. Точка K
лежит на стороне AB
основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
, все рёбра которой равны. Плоскость \alpha
проходит через точку K
параллельно плоскости ASD
. Сечение пирамиды плоскостью \alpha
— четырёхугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что BK=2AK
.
б) Найдите расстояние от вершины S
до плоскости \alpha
, если все рёбра пирамиды равны 1.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{9}
.
Решение. а) Плоскость ASB
пересекает параллельные плоскости ASD
и \alpha
по параллельным прямым, значит, прямая l
пересечения плоскостей ASB
и \alpha
параллельна прямой SA
(см. задачу 8009) и проходит через точку K
. Аналогично, прямая m
пересечения плоскостей ABCD
и \alpha
параллельна AD
и проходит через точку K
.
Пусть прямая l
пересекает ребро SB
в точке N
, а прямая m
пересекает ребро CD
в точке L
. Прямая n
пересечения плоскостей CSD
и \alpha
параллельна AD
и проходит через точку L
. Пусть прямая n
пересекает ребро SC
в точке M
. Тогда сечение пирамиды плоскостью \alpha
— четырёхугольник KLMN
.
Плоскости BSC
и \alpha
проходят через параллельные прямые BC
и KL
соответственно, значит, прямая MN
их пересечения параллельна KL
(см. задачу 8004). Противоположные стороны KL
и MN
четырёхугольника KLMN
параллельны, причём MN\lt BC=KL
, следовательно, KLMN
— трапеция, а так как пирамида правильная, эта трапеция равнобедренная. По условию задачи в эту трапецию можно вписать окружность, поэтому KL+MN=2KN
(см. задачу 310).
Обозначим \frac{BK}{AB}=k
. Тогда KN=kSA
и MN=(1-k)BC=(1-k)SA
. Из равенства SA+(1-k)SA=2kSA
находим, что k=\frac{2}{3}
. Следовательно, BK=2AK
.
б) Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и середины P
и Q
рёбер BC
и AD
соответственно. Пусть E
— точка пересечения SP
и MN
. Поскольку \frac{SE}{EP}=\frac{SN}{NB}=\frac{1}{2}
, расстояние от точки S
до плоскости \alpha
вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки P
, (см. задачу 9180), т. е. равно трети высоты PH
равнобедренного треугольника PSQ
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
. По теореме Пифагора
SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Записав двумя способами площадь треугольника PSQ
, получим, что SQ\cdot PH=PQ\cdot SO
, откуда
PH=\frac{PQ\cdot SO}{SQ}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
Следовательно, искомое расстояние равно \frac{1}{3}PH=\frac{\sqrt{6}}{9}
.