9189. Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Точка M
— середина бокового ребра SD
.
а) Докажите, что противоположные боковые грани пирамиды перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB
и CM
, если сторона основания пирамиды равна \sqrt{2}
.
Ответ. 1.
Решение. а) Пусть SK
и SL
— высоты граней ASB
и CSD
соответственно. Тогда плоскость KSL
перпендикулярна ребру CD
, значит, SLK
— линейный угол двугранного угла пирамиды при этом ребре. По условию задачи \angle SLK=45^{\circ}
, значит, равнобедренный треугольник KSL
— прямоугольный. Прямая KS
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SL
и CD
плоскости SCD
. Значит, KS
— перпендикуляр к плоскости CSD
(см. задачу 7700).
Плоскость ASB
проходит через прямую SK
, перпендикулярную плоскости CSD
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).
б) Прямая AB
параллельна плоскости CSD
, так как она параллельна прямой CD
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние между прямыми AB
и CM
равно расстоянию от любой точки прямой AB
до этой плоскости (см. задачу 7889), например, от точки K
. Поскольку KS
— перпендикуляр к плоскости CSD
, то это расстояние равно длине катета KS
равнобедренного прямоугольного треугольника KSL
, т. е.
KP=\frac{KL}{\sqrt{2}}=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.