9362. Докажите, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны соответственно h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, то объём тетраэдра не меньше \frac{1}{3}h_{1}h_{2}h_{3}
.
Решение. Достроим тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждую пару скрещивающихся рёбер пару параллельных плоскостей. Тогда объём тетраэдра равен трети объёма параллелепипеда (см. задачи 9265 и 7234), а высоты параллелепипеда равны h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
.
Пусть объём параллелепипеда равен V
, объём тетраэдра равен V_{1}
, AA_{1}=a_{1}
— ребро тетраэдра ABCD
, а AH=h_{1}
— высота параллелепипеда, опущенная на грань A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Объём параллелепипеда равен произведению ребра AA_{1}
на площадь сечения, перпендикулярного этому ребру (см. задачу 7310).
Пусть указанное сечение — параллелограмм со стороной a_{2}
и высотой a_{3}
. Тогда h_{2}\geqslant a_{2}
и h_{3}\geqslant a_{3}
(или h_{2}\geqslant a_{3}
и h_{3}\geqslant a_{2}
), так как наклонная к плоскости не меньше перпендикуляра. Следовательно,
V_{1}=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}a_{1}a_{2}a_{3}\geqslant\frac{1}{3}h_{1}h_{3}h_{3}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Заметим, что равенство достигается, если параллелепипед прямоугольный. В этом случае тетраэдр равногранный (см. задачу 7994).
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1985, XLVIII, 10 класс
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — с. 153, № 20