9393. Сторона основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
равна 12. Точки M
и N
— середины рёбер AB
и BC
соответственно, DM=4\sqrt{3}
. Найдите расстояние между прямыми DM
и AN
.
Ответ. \frac{6}{\sqrt{5}}
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр основания пирамиды. Тогда
CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3},~OM=\frac{1}{3}CM=2\sqrt{3},
DO=\sqrt{DM^{2}-OM^{2}}=\sqrt{48-12}=6.
Пусть K
— середина отрезка BN
, P
— проекция точки O
на прямую NK
. Тогда MK
— средняя линия прямоугольного треугольника ANB
, поэтому MK\parallel AN
, а так как OP\parallel BC
, то OPKN
— прямоугольник, значит, OP=NK=3
.
Прямая AN
параллельна прямой MK
, лежащей в плоскости DMK
, значит, прямая AN
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002), а расстояние между прямыми AN
и DM
равно расстоянию от любой точки прямой AN
до плоскости DMK
(см. задачу 7889), например, от точки O
.
Пусть OH
— высота прямоугольного треугольника DPO
, опущенная из вершины прямого угла при вершине O
. Тогда OP
— перпендикуляр к этой плоскости, а искомое расстояние d
равно длине отрезка OP
. Следовательно,
d=OP=\frac{OP\cdot DO}{DM}=\frac{9\cdot6}{\sqrt{9+36}}=\frac{6}{\sqrt{5}}.
Второй способ. Пусть O
— центр основания пирамиды. Тогда
CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3},~OM=\frac{1}{3}CM=2\sqrt{3},
DO=\sqrt{DM^{2}-OM^{2}}=\sqrt{48-12}=6.
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot6=\frac{1}{3}\cdot\frac{144\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot6=72\sqrt{3}.
Пусть K
— середина отрезка BN
. Тогда MK
— средняя линия прямоугольного треугольника ANB
, поэтому
MK=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}=3\sqrt{3},
DK^{2}=DN^{2}+KN^{2}=48+9=57.
Обозначим \angle DMK=\alpha
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{DM^{2}+MK^{2}-DK^{2}}{2DM\cdot MK}=\frac{48+27-57}{2\cdot4\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}}=\frac{1}{4}.
Тогда \sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}
.
Объём треугольной пирамиды AMND
в четыре раза меньше объёма данной пирамиды, так как площадь основания AMN
в четыре раза меньше площади треугольника ABC
а высота DO
та же, что у исходной пирамиды, т. е. V_{AMND}=18\sqrt{3}
. С другой стороны, если d
— искомое расстояние между прямыми DM
и AN
, то
V_{AMND}=\frac{1}{6}DM\cdot AN\cdot d\sin\alpha
(см. задачу 7234), или
18\sqrt{3}=\frac{1}{6}\cdot4\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}\cdot d\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}
(см. задачу 1967), откуда находим, что d=\frac{6}{\sqrt{5}}
.