9419. Точка M
— середина ребра AB
единичного правильного тетраэдра ABCD
. Найдите расстояние между прямыми DM
и BC
.
Ответ. \sqrt{\frac{2}{11}}
.
Решение. Пусть N
и P
— середины рёбер AC
и BC
соответственно, H
— центр грани ABCD
, F
— точка пересечения MN
и AP
.
Плоскость MDN
проходит через прямую DM
и параллельна прямой BC
, так как она содержит прямую MN
, параллельную BC
(среднюю линию треугольника ABC
). Значит, расстояние между прямыми DM
и BC
равно расстоянию от произвольной точки прямой BC
, например, от точки P
, до плоскости MDN
(см. задачу 7889).
Точки F
и H
лежат на высоте AP
равностороннего треугольника ABC
, причём F
— середина AP
, а H
— центр грани ABC
. Значит,
FH=FP-HP=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{3}AP=\frac{1}{6}AP=\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{12},
а так как DH
— высота правильного тетраэдра с ребром 1, то DH=\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040).
Пусть HE
— высота прямоугольного треугольника DHF
. Тогда HE
— перпендикуляр к плоскости MDN
и
DF=\sqrt{DH^{2}+FH^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}+\frac{1}{48}}=\frac{\sqrt{11}}{4},
HE=\frac{DH\cdot FH}{DF}=\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{11}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{11}}
(см. задачу 1967).
Точка H
лежит на наклонной PF
к плоскости MDN
и делит эту наклонную в отношении \frac{HF}{HP}=\frac{1}{2}
, значит, расстояние от точки F
до плоскости MDN
втрое больше расстояния до этой плоскости от точки H
(см. задачу 9180). Таким образом, расстояние между прямыми DM
и BC
равно
3HE=3\cdot\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}.