9422. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{5}}
.
Решение. На продолжении ребра A_{1}B_{1}
за вершину B_{1}
отложим отрезок B_{1}E=A_{1}B_{1}
. Тогда четырёхугольник ABEB_{1}
— параллелограмм. Плоскость BEC_{1}
проходит через прямую BC_{1}
и содержит прямую BE
, параллельную AB_{1}
, значит, прямая AB_{1}
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Следовательно, расстояние между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой AB_{1}
, например, от B_{1}
, до плоскости BEC_{1}
(см. задачу 7889).
Заметим, что треугольник A_{1}C_{1}E
прямоугольный с прямым углом при вершине C_{1}
, т. е. его медиана C_{1}B_{1}
равна половине стороны A_{1}E
(см. задачу 1188). Тогда его средняя линия B_{1}P
перпендикулярна катету C_{1}E
. Пусть B_{1}H
— высота прямоугольного треугольника BB_{1}P
с катетами
BB_{1}=1~\mbox{и}~B_{1}P=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}
и гипотенузой
BP=\sqrt{BB_{1}^{2}+B_{1}P^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Тогда
B_{1}H=\frac{BB_{1}\cdot B_{1}P}{BP}=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}
(см. задачу 1967). Осталось заметить, что B_{1}H
— перпендикуляр к плоскости BEC_{1}
(так как B_{1}H\perp BP
и B_{1}H\perp EC_{1}
). Следовательно, расстояние между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
равно \frac{1}{\sqrt{5}}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(в), с. 55