9501. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
с вершиной S
. Стороны основания пирамиды равны a
, а боковые рёбра равны 2a
. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро AB
и середину ребра SD
.
Ответ. \frac{13a^{2}\sqrt{39}}{48}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра SD
, P
и Q
— точки пересечения прямой AB
с прямыми EF
и CD
соответственно.
Секущая плоскость и плоскость DSE
проходят через параллельные прямые AB
, DE
и имеют общую точку M
, поэтому они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно DE
(см. задачу 8004). Пусть K
— точка пересечения прямой l
с ребром SE
, N
— точка пересечения прямых QM
и SC
, лежащих в плоскости CSD
, а L
— точка пересечения прямых PK
и SF
, лежащих в плоскости ESF
. Тогда сечение, о котором говорится в условии задачи, — шестиугольник ABNMKL
.
Треугольник BCQ
равносторонний, поэтому CQ=BC=CD
. Медианы QM
и SC
треугольника DSQ
пересекаются в точке N
, значит, CN:NS=1:2
. Поскольку K
— середина ребра SE
, аналогично получим, что FL:LS=1:2
.
Пусть O
— центр основания пирамиды, а M'
, N'
, K'
и L'
— ортогональные проекции шестиугольника ABNMKL
на плоскость основания. Тогда шестиугольник ABN'M'K'L'
— ортогональная проекция сечения ABNMKL
на плоскость основания пирамиды. При этом точки M'
, N'
, K'
, L'
лежат на отрезках OD
, OC
, OE
, OF
соответственно и
OM':M'D=1:1,~ON':N'C=SN:ND=2:1,~
OK':K'D=1:1,~OL':L'F=SL:LF=2:1.
Пусть S_{ABNMKL}=s
и S_{ABN_{1}M_{1}K_{1}L_{1}}=s'
. Тогда
s'=S_{\triangle AOB}+2S_{\triangle AOL'}+2S_{\triangle L'OK'}+S_{\triangle K'OM'}=
=\frac{1}{6}s+2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{6}s+2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}s+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}s=\frac{13}{24}\cdot\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{39a^{2}\sqrt{3}}{48}
(см. задачи 3000 и 3007).
Пусть H
и T
— середины отрезков AB
и KM
соответственно, T'
— ортогональная проекция точки T
на плоскость основания пирамиды, а угол между секущей плоскостью и плоскостью основания пирамиды равен \varphi
. Тогда \angle THT'=\varphi
.
Из прямоугольного треугольника THT'
находим, что
\tg\varphi=\frac{TT'}{HT'}=\frac{\frac{1}{2}SO}{\frac{3}{2}OH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}.
Тогда
\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\varphi}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.
Следовательно (см. задачу 8093),
s=\frac{s'}{\cos\varphi}=\frac{\frac{39a^{2}\sqrt{3}}{48}}{\frac{3}{\sqrt{13}}}=\frac{13a^{2}\sqrt{39}}{48}.