9510. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Все рёбра пирамиды равны a
. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра SC
и точку A
параллельно диагонали BD
основания.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{10}}{6}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра SC
, O
— центр квадрата ABCD
, а прямые AM
и SO
, лежащие в плоскости ASC
, пересекаются в точке E
.
Плоскость BSD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку E
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку E
параллельно BD
(см. задачу 8003). Пусть N
и K
— точки пересечения прямой l
с рёбрами SB
и SD
соответственно. Тогда сечение, о котором говорится в условии задачи, — четырёхугольник AKMN
.
По теореме о трёх перпендикулярах AM\perp BD
, значит, AM\perp KN
, т. е. диагонали четырёхугольника сечения перпендикулярны. Следовательно, его площадь равна половине произведения диагоналей (см. задачу 3018).
Медианы SO
и AM
треугольника ASC
пересекаются в точке E
, поэтому SE:EO=2:1
(см. задачу 1207). Тогда
KN=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}\cdot a\sqrt{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{3}.
Заметим, что
AC^{2}=2a^{2}=a^{2}+a^{2}=SA^{2}+SC^{2},
значит, \angle ASC=90^{\circ}
(см. задачу 1072). Из прямоугольного треугольника ASM
находим, что
AM=\sqrt{SA^{2}+SM^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
Следовательно,
S_{AKMN}=\frac{1}{2}BD\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot\frac{2a\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{10}}{6}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3(д), с. 62