9660. В равногранном тетраэдре ACB_{1}D_{1}
опущена высота D_{1}H
; H_{1}
— ортоцентр грани ACB_{1}
. Докажите, что точки H
и H_{1}
симметричны относительно центра окружности, описанной около треугольника ACB_{1}
.
Решение. Пусть ACB_{1}D_{1}
— равногранный тетраэдр. Рассмотрим его описанный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Этот параллелепипед прямоугольный, так как тетраэдр равногранный (см. задачу 7994).
Противоположные рёбра тетраэдра ABCB_{1}
попарно перпендикулярны, поэтому его высоты пересекаются в одной точке, т. е. этот тетраэдр ортоцентрический (см. задачу 7807). Его высота, проведённая из вершины B
, проходит через ортоцентр H_{1}
основания ACB_{1}
(см. задачу 9283).
Известно, что диагональ BD_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проходит через точку M
пересечения медиан треугольника ACB_{1}
и делится ею в отношении 2:1
, считая от вершины D_{1}
(см. задачу 7212). Значит, ортогональные проекции H
и H_{1}
вершин D_{1}
и B
на плоскость ACB_{1}
, а также точка M
лежат на одной прямой, причём MH=2MH_{1}
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ACB_{1}
. Тогда точки H_{1}
, O
и M
лежат на одной прямой — прямой Эйлера треугольника ACB_{1}
, причём точка M
лежит между O
и H_{1}
и OH_{1}=2OM
(см. задачу 5044). Следовательно, точки O
, H
и H_{1}
лежат на этой прямой, причём, если OM=t
, то
OH_{1}=3t,~MH_{1}=2t,~MH=4t,~OH=MH-OM=4t-t=3t=OH_{1}.
Что и требовалось доказать.