9688. Докажите, что тетраэдр каркасный тогда и только тогда, когда суммы его двугранных углов при противоположных рёбрах равны.
Указание. См. задачу 9266.
Решение. Первый способ. Пусть A'
— точка, равноудалённая от прямых AB
, AD
и AC
. Аналогично определим точки B'
, C'
и D'
. Заметим, что тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда все прямые AA'
. BB'
, CC'
и DD'
пересекаются в одной точке. Это равносильно тому, что каждые две такие прямые пересекаются (см. задачу 8018).
Прямые AA'
и BB'
лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда плоскости ABA'
и ABB'
образуют равные углы с плоскостью ABC
. Эти углы равны
\frac{1}{2}(\angle AB+\angle AC-\angle AD)~\mbox{и}~\frac{1}{2}(\angle AB+\angle BC-\angle BD)
(см. задачу 9266), что равносильно равенству
\angle AC+\angle BD=\angle BC+\angle AD.
Аналогично для любой другой пары из четырёх рассматриваемых прямых. Отсюда следует доказываемое утверждение.
Второй способ. Необходимость. Пусть ABCD
— каркасный тетраэдр. Тогда существует сфера, касающаяся всех его рёбер, а вписанные окружности любых двух граней тетраэдра касаются общего ребра этих граней в одной и той же точке (см. задачу 7335). Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры вписанных окружностей граней ADB
, BDC
, ADC
и ABC
соответственно, O
— центр сферы, касающейся всех рёбер тетраэдра, причём рёбер AB
, AD
, CD
и BC
— в точках M
, N
, K
и L
соответственно. Тогда O_{1}MO_{4}
, O_{1}NO_{3}
, O_{2}KO_{3}
и O_{2}LO_{4}
— линейные углы двугранных углов при рёбрах AB
, AD
, CD
и BC
соответственно.
Прямоугольные треугольники ONO_{1}
и OMO_{1}
равны по двум катетам. Аналогично для трёх других соответствующих пар прямоугольных треугольников. Обозначим
\angle ONO_{1}=\angle OMO_{1}=\alpha,~\angle OLO_{4}=\angle OMO_{4}=\beta,~
\angle OKO_{3}=\angle ONO_{3}=\gamma,~\angle OLO_{2}=\angle OKO_{2}=\delta.
Тогда
\angle O_{1}MO_{4}+\angle O_{2}KO_{3}=(\alpha+\beta)+(\gamma+\delta),
\angle O_{1}NO_{3}+\angle O_{2}LO_{4}=(\alpha+\gamma)+(\beta+\delta).
Следовательно,
\angle O_{1}MO_{4}+\angle O_{2}KO_{3}=\angle O_{1}NO_{3}+\angle O_{2}LO_{4}.
Аналогично для углов при двух других пар рёбер.
Достаточность. См. третий способ.
Третий способ. Докажем, что для произвольного тетраэдра равносильны следующие утверждения: равны суммы двух пар противоположных рёбер; равны суммы соответствующих пар двугранных углов, т. е. если a
, b
— одна пара противоположных рёбер тетраэдра, \alpha
, \beta
— двугранные углы при них; c
, d
— другая пара противоположных рёбер, \gamma
, \delta
— двугранные углы при них, то равенства a+b=c+d
и \alpha+\beta=\gamma+\delta
равносильны. Отсюда будет следовать утверждение нашей задачи.
По теореме Бретшнейдера для тетраэдра (см. задачу 8091) выражение a^{2}+b^{2}+2ab\ctg\alpha\ctg\beta
для данного тетраэдра не зависит от выбора пары противоположных рёбер. Обозначим
a^{2}+b^{2}+2ab\ctg\alpha\ctg\beta=c^{2}+d^{2}+2cd\ctg\gamma\ctg\delta=\Sigma.
По теореме синусов для тетраэдра (см. задачу 7999) произведение длин двух противоположных рёбер тетраэдра, делённое на произведение синусов двугранных углов, соответствующих этим рёбрам, также не зависит от выбора пары противоположных рёбер. Обозначим
\frac{ab}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{cd}{\sin\gamma\sin\delta}=\Omega.
Тогда
\Sigma-2\Omega\cos(\alpha+\beta)=
=a^{2}+b^{2}+2ab\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}-2ab\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=
=a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}.
Аналогично,
\Sigma-2\Omega\cos(\gamma+\delta)=(c+d)^{2}.
Итак, для любого тетраэдра выполняются равенства
\Sigma-2\Omega\cos(\alpha+\beta)=(a+b)^{2},~\Sigma-2\Omega\cos(\gamma+\delta)=(c+d)^{2}.
Значит,
a+b=c+d~\Leftrightarrow~\cos(\alpha+\beta)=\cos(\gamma+\delta)~\Leftrightarrow~\alpha+\beta=\gamma+\delta.
Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. См. также статью В.Э.Матизена «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.
2. См. также решения задачи М2533, Квант, 2019, N1, с.23-26