9695. Сторона основания правильной треугольной пирамиды ABCD
и её высота DH
равны \sqrt{3}
. Точки M
и N
— середины рёбер BC
и AB
соответственно. Найдите угол и расстояние между прямыми AM
и DN
.
Ответ. \arccos\frac{1}{2\sqrt{13}}
; \sqrt{\frac{3}{17}}
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку N
параллельно AM
, пересекает ребро BC
в точке K
, а прямая, проходящая через точку A
параллельно BC
пересекается с прямой NK
в точке P
. Введём прямоугольную систему координат Oxyz
, направив ось Ox
по лучу AM
, ось Oy
— по лучу AP
, а ось Oz
— по лучу AT
, перпендикулярному плоскости ABC
, где T
— точка, расположенная по ту же сторону от плоскости ABC
, что и точка D
.
Найдём координаты нужных нам точек и векторов:
A(0;0;0),~M\left(\frac{3}{2};0;0\right),~D(1;0;\sqrt{3}),~N\left(\frac{3}{4};\frac{\sqrt{3}}{4};0\right),
\overrightarrow{AM}=\left(\frac{3}{2};0;0\right),~\overrightarrow{DN}=\left(-\frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{4};-\sqrt{3}\right).
Пусть \varphi
— искомый угол между прямыми AM
и DN
. Тогда (см. задачу 4900)
\cos\varphi=\left|\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{DN}}{|\overrightarrow{AM}|\cdot|\overrightarrow{DN}|}\right|=\left|\frac{-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{3}{16}+3}}\right|=\frac{1}{2\sqrt{13}}.
Поскольку KP\parallel AM
, расстояние d
между прямыми AM
и DN
равно расстоянию от произвольной точки прямой AM
(см. задачу 7889), например, от точки A
, до плоскости DKP
, содержащей прямую KP
. Уравнение этой плоскости имеет вид \frac{y}{AP}+\frac{z}{AQ}=1
или \frac{y}{AP}-\frac{z}{AQ}=1
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564), где Q(0;0;c)
— точка пересечения плоскости DKP
с осью Oz
. В этой плоскости лежит точка D(1;0;\sqrt{3})
, поэтому \frac{y}{\frac{\sqrt{3}}{4}}+\frac{z}{c}=1
, откуда c=\sqrt{3}
. Таким образом, уравнение плоскости DKP
имеет вид \frac{4y}{\sqrt{3}}+\frac{z}{\sqrt{3}}=1
, или 4y+z-\sqrt{3}=0
. Следовательно (см. задачу 7563),
d=\left|\frac{4\cdot0+0-\sqrt{3}}{\sqrt{16+1}}\right|=\sqrt{\frac{3}{17}}.